Bir araştırmacı, n=24 gözlem kullanarak Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \epsilon modelini En K… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, $n=24$ gözlem kullanarak $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \epsilon$ modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle matris formunda tahmin etmektedir. Analiz sonucunda aşağıdaki matris değerleri ve artık kareler toplamı ( $e'e$ ) elde edilmiştir:

(X'X)^{-1} = \begin{pmatrix} 0,4 & -0,1 \\ -0,1 & 0,2 \\ \end{pmatrix}, \quad X'Y = \begin{bmatrix} 20 \\ 30 \\ \end{bmatrix}, \quad e'e = 110

Buna göre, eğim katsayısı tahmini ( $\hat{\beta}_1$ ) ve bu katsayının standart hatası ( $SE(\hat{\beta}_1)$ ) değerleri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

$\hat{\beta}_1 = 4$ ve $SE(\hat{\beta}_1) = 1,00$ Answer
B
$\hat{\beta}_1 = 5$ ve $SE(\hat{\beta}_1) = 1,00$
C
$\hat{\beta}_1 = 4$ ve $SE(\hat{\beta}_1) = 1,41$
D
$\hat{\beta}_1 = 4$ ve $SE(\hat{\beta}_1) = 0,96$
E
$\hat{\beta}_1 = 6$ ve $SE(\hat{\beta}_1) = 1,10$

Answer

Eğim katsayısı tahmini 4 ve bu katsayının standart hatası 1,00 olarak hesaplanır.

Matris çarpımı sonucunda eğim katsayısı tahmini

\hat{\beta}_1 = 4

olarak bulunur. Hata varyansı tahmini için Artık Kareler Toplamı

n-2=22

serbestlik derecesine bölünerek 5 değeri elde edilir. Bu varyans değeri, ters matrisin eğim katsayısına karşılık gelen

0,2

elemanıyla çarpıldığında katsayı varyansı 1, bunun karekökü olan standart hata ise 1,00 olur.

Step-by-Step Solution

Parametre tahmin vektörünü (

\hat{\beta}

) hesaplayınız.

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y = \begin{pmatrix} 0,4 & -0,1 \\ -0,1 & 0,2 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 \\ 30 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0,4 \times 20) + (-0,1 \times 30) \\ (-0,1 \times 20) + (0,2 \times 30) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}

EKK tahmincileri matris formunda

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

formülüyle hesaplanır. Burada vektörün ilk elemanı sabit terimi (

\hat{\beta}_0

), ikinci elemanı ise eğim katsayısını (

\hat{\beta}_1

) verir.

Hata terimlerinin varyans tahminini (

\hat{\sigma}^2

) hesaplayınız.

\hat{\sigma}^2 = \frac{e'e}{n-k-1} = \frac{110}{24-1-1} = \frac{110}{22} = 5

Hata varyansının sapmasız tahmini için Artık Kareler Toplamı, gözlem sayısından parametre sayısı çıkarılarak elde edilen serbestlik derecesine bölünür.

Eğim katsayısının varyansını ve standart hatasını bulunuz.

Var(\hat{\beta}_1) = \hat{\sigma}^2 \times ((X'X)^{-1})_{22} = 5 \times 0,2 = 1,00

SE(\hat{\beta}_1) = \sqrt{1,00} = 1,00

Katsayıların varyans-kovaryans matrisi

Var(\hat{\beta}) = \sigma^2 (X'X)^{-1}

formülüyle tanımlanır. Eğim katsayısının varyansı, hata varyansı ile ters matrisin ilgili köşegen elemanının çarpımıdır.

Key Concept

EKK Matris Çözümü ve Gauss-Markov Özellikleri

Practice More

EKK tahmincilerinin Gauss-Markov varsayımları altında BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahminci) olma özelliklerini tekrar ediniz.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics

More questions from this topic