Bir araştırmacı, n=30 gözlem ve bir bağımsız değişken (X_1) kullanarak sabit terimli Y = \… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, $n=30$ gözlem ve bir bağımsız değişken ( $X_1$ ) kullanarak sabit terimli $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \epsilon$ modelini matris formunda ( $Y = X\beta + \epsilon$ ) tahmin etmektedir. Bu modelde bağımsız değişkenler matrisine ilişkin $(X'X)$ matrisi aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

(X'X) = \begin{bmatrix} 30 & 150 \\ 150 & 850 \end{bmatrix}

Bu regresyon modelinin En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle çözümüne ve özelliklerine ilişkin aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Parametre tahmin vektörü $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ formülü ile hesaplanır.Answer
B
Matris çarpımında yer değiştirme özelliği olduğu için $\hat{\beta} = X'Y(X'X)^{-1}$ formülü de aynı sonucu verir.
C
Modeldeki hata varyansının ( $\sigma^2$ ) sapmasız tahmini için paydada serbestlik derecesi olarak $n=30$ değeri kullanılmalıdır.
D
Gauss-Markov teoremine göre EKK tahmincileri en küçük varyanslı ancak sapmalı tahmincilerdir.
E
$(X'X)$ matrisinin determinantı sıfır olduğunda da parametre tahmin vektörü tek bir çözüm olarak hesaplanabilir.

Answer

Parametre tahmin vektörü

(X'X)^{-1}X'Y

formülü ile hesaplanır.

Çoklu doğrusal regresyon analizinde, En Küçük Kareler yöntemine göre hata kareler toplamını minimize eden çözüm normal denklemler aracılığıyla elde edilir. Bu denklemlerin matris formundaki çözümü, bağımsız değişkenler matris çarpımının tersi ile bağımsız ve bağımlı değişken matris çarpımının çarpılmasına (soldan) dayanır. Bu da bizi doğru olan katsayı tahmin vektörü formülüne ulaştırır.

Step-by-Step Solution

Matris modelinin tanımlanması

Y = X\beta + \epsilon

modelinde

X

bağımsız değişkenler matrisidir.

EKK tahmini için modelin matris formunda ifade edilmesi gerekir.

Normal denklemlerin kurulması

(X'X)\hat{\beta} = X'Y

Hata kareler toplamını minimize eden denklemler matris formunda bu şekilde yazılır.

Katsayı vektörünün yalnız bırakılması

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

Eşitliğin her iki tarafı soldan

(X'X)^{-1}

ile çarpılarak parametre tahminleri elde edilir.

Key Concept

EKK Matris Çözümü

Hints

EKK matris çözümünde katsayıları bulmak için matrisin tersini almanız gerektiğini hatırlayın.

Practice More

Varyans-kovaryans matrisinin

\sigma^2(X'X)^{-1}

olduğunu gösteren benzer bir soruyu çözebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Topics

More questions from this topic