Examkin

Question

Difficulty: MediumEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bir rüzgâr enerjisi santrali projesi kapsamında, belirli bir bölgedeki günlük maksimum rüzgâr hızları (m/s) ölçülmektedir. Gözlemlenen rüzgâr hızlarının (XX), θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olan bir dağılıma uyduğu kabul edilmektedir:

f(x;θ)={2xθe−x2θ,x>00,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu bölgeden bağımsız ve özdeş dağılımlı olarak nn günlük rastgele bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) alındığına göre, θ\theta parametresinin en çok olabilirlik (maximum likelihood) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    12n∑i=1nXi2\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2
  2. B
    1n∑i=1nXi2\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}
  3. 1n∑i=1nXi2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2Answer
  4. D
    1n∑i=1nXi\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
  5. E
    2n∑i=1nXi2\frac{2}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

Answer

1n∑i=1nXi2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 ifadesi parametrenin doğru en çok olabilirlik tahmin edicisidir.
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun ortak olabilirlik fonksiyonu (L) yazıldıktan sonra, fonksiyonun logaritması alınmış ve θ\theta parametresine göre türevi sıfıra eşitlenmiştir. Bu türev işleminden elde edilen denklem θ\theta için çözüldüğünde 1n∑i=1nXi2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 eşitliği doğrudan bulunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonu L(θ)L(\theta)'yı oluşturmak.
L(θ)=∏i=1nf(Xi;θ)=∏i=1n(2Xiθe−Xi2θ)=2n∏i=1nXiθne−1θ∑i=1nXi2L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{2X_i}{\theta} e^{-\frac{X_i^2}{\theta}} \right) = \frac{2^n \prod_{i=1}^n X_i}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n X_i^2}
En çok olabilirlik tahmin edicisini bulmak için tüm bağımsız gözlemlerin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının ortak çarpımı elde edilmelidir.
2
Olabilirlik fonksiyonunun doğal logaritmasını alarak log-olabilirlik l(θ)l(\theta) fonksiyonunu yazmak.
l(θ)=nln⁡2+∑i=1nln⁡Xi−nln⁡θ−1θ∑i=1nXi2l(\theta) = n \ln 2 + \sum_{i=1}^n \ln X_i - n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i^2
Çarpım durumundaki bir fonksiyonu maksimize etmek yerine, onun monoton artan bir fonksiyonu olan logaritmasını alarak toplam formuna çevirip maksimize etmek türev almayı kolaylaştırır.
3
Log-olabilirlik fonksiyonunun bilinmeyen θ\theta parametresine göre birinci türevini almak ve sıfıra eşitlemek.
∂l(θ)∂θ=−nθ+1θ2∑i=1nXi2=0\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 = 0
Bir fonksiyonun maksimum noktasını bulmak için birinci türevinin sıfır olduğu ekstremum noktası tespit edilmelidir.
4
Denklemi düzenleyerek θ\theta için çözmek.
nθ=∑i=1nXi2θ2  ⟹  nθ=∑i=1nXi2  ⟹  θ^=1n∑i=1nXi2\frac{n}{\theta} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\theta^2} \implies n\theta = \sum_{i=1}^n X_i^2 \implies \hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2
Elde edilen denklemdeki θ\theta çekilerek en çok olabilirlik tahmin edicisine (MLE) ulaşılır.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Yöntemi ile Nokta Tahmini
Rate this question

Topics

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

More questions from this topic