Examkin

Question

Difficulty: Medium(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Bir yazılım şirketinin teknik destek birimine gelen yardım talepleri saatte ortalama 1212 adet (λ=12\lambda = 12) olacak şekilde Poisson dağılımına uygun gerçekleşmektedir. Talepler tek bir uzman tarafından karşılanmakta olup, bir talebin çözümlenme süresinin ortalaması 33 dakika ve standart sapması 22 dakikadır. Buna göre, sistemin kararlı hal durumunda kuyrukta bekleyen ortalama talep sayısı (LqL_q) kaçtır?

  1. A
    0,55
  2. 0,65Answer
  3. C
    0,90
  4. D
    1,25
  5. E
    1,30

Answer

Sistemin kararlı hal durumunda kuyrukta bekleyen ortalama talep sayısı 0,650,65 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan 0,650,65 değeri, Pollaczek-Khinchine formülünde birim uyuşmazlığı giderildikten sonra (λ=0,2\lambda = 0,2, E[S]=3E[S] = 3, σ2=4\sigma^2 = 4) değerlerin yerine konulmasıyla elde edilir. Formül Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Birimlerin uyumlulaştırılması ve varış hızının (λ\lambda) dakika cinsinden hesaplanması
λ=12 talep/saat=12/60=0,2 talep/dakika\lambda = 12 \text{ talep/saat} = 12/60 = 0,2 \text{ talep/dakika}
Hizmet süresi parametreleri dakika cinsinden verildiği için varış hızı da dakikaya çevrilmelidir.
2
Sistem kullanım oranının (yoğunluk) hesaplanması
ρ=λ×E[S]=0,2×3=0,6\rho = \lambda \times E[S] = 0,2 \times 3 = 0,6
Sistemin kararlılığı ve formül uygulaması için kullanım oranının belirlenmesi gerekir (ρ<1\rho < 1 şartı sağlanmaktadır).
3
Hizmet süresi varyansının hesaplanması
σ2=22=4 dakika2\sigma^2 = 2^2 = 4 \text{ dakika}^2
Pollaczek-Khinchine formülünde hizmet süresinin standart sapması değil, varyansı kullanılmaktadır.
4
Pollaczek-Khinchine formülünün uygulanması
Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)=(0,2)2×4+(0,6)22(1−0,6)=0,16+0,360,8=0,65L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{(0,2)^2 \times 4 + (0,6)^2}{2(1-0,6)} = \frac{0,16 + 0,36}{0,8} = 0,65
Genel hizmet süreli (M/G/1) kuyruk modellerinde kuyruk uzunluğu bu formül ile bulunur.

Key Concept

(M/G/1) modelinde kuyruk uzunluğu, hizmet süresinin varyansından doğrudan etkilenir ve Pollaczek-Khinchine formülü ile hesaplanır.

Hints

1
Varış hızı saatte 12 ise, 1 dakikada ortalama kaç talep geldiğini bularak başlayın.
2
M/G/1 modelinde kuyruk uzunluğu için Pollaczek-Khinchine formülünü kullanın: Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)}
3
Kullanım oranı ρ=0,6\rho = 0,6 ve hizmet süresi varyansı σ2=4\sigma^2 = 4 değerlerini formülde yerleştirin.

Practice More

Aynı verilerle bekleme süresi WqW_q değerini Little teoremi (Lq=λWqL_q = \lambda W_q) yardımıyla hesaplayınız.

Alternative Method

Varyasyon katsayısı (Cs=σ/E[S]C_s = \sigma / E[S]) kullanılarak da çözülebilir. Cs=2/3C_s = 2/3 ise Lq=ρ2(1+Cs2)2(1−ρ)=0,36(1+4/9)0,8=0,65L_q = \frac{\rho^2(1 + C_s^2)}{2(1-\rho)} = \frac{0,36(1 + 4/9)}{0,8} = 0,65.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

More questions from this topic