\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T rastgele vektörü, üç değişkenli normal dağılıma sahiptir. B… — KPSS İstatistik

$\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T$ rastgele vektörü, üç değişkenli normal dağılıma sahiptir. Bu dağılımın beklenen değer vektörü $\boldsymbol{\mu} = (1, -1, 2)^T$ ve varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ 'nın elemanları;

$\text{Var}(X_1) = 4$ , $\text{Var}(X_2) = 2$ , $\text{Var}(X_3) = 3$
$\text{Cov}(X_1, X_2) = 1$
$\text{Cov}(X_1, X_3) = -1$
$\text{Cov}(X_2, X_3) = 0$

olarak bilinmektedir.

Buna göre, $Y = X_1 - 2X_2 + X_3$ biçiminde tanımlanan $Y$ rastgele değişkeninin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$N(5, 15)$
B
$N(5, 7)$
$N(5, 9)$ Answer
D
$N(2, 9)$
E
$N(5, 35)$

Answer

Beklenen değeri 5 ve varyansı 9 olan

N(5, 9)

dağılımıdır.

Çok değişkenli normal rastgele vektörlerin lineer kombinasyonları da normal dağılır. Doğrusal operatör kuralları gereğince beklenen değer

E(Y) = E(X_1) - 2E(X_2) + E(X_3) = 1 - 2(-1) + 2 = 5

olarak bulunur. Varyans hesaplamasında ise varyanslar katsayıların karesi ile, kovaryanslar ise değişkenlerin katsayılarının çarpımının iki katı ile ağırlıklandırılır:

Var(Y) = 1^2(4) + (-2)^2(2) + 1^2(3) + 2(1)(-2)(1) + 2(1)(1)(-1) + 2(-2)(1)(0) = 4 + 8 + 3 - 4 - 2 = 9

elde edilir. Bu durum,

Y

'nin dağılımının

N(5, 9)

olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

Çok değişkenli normal dağılımın lineer kombinasyonunun dağılım türünü belirlemek.

Y

rastgele değişkeni de normal dağılıma sahiptir.

Çok değişkenli normal dağılıma sahip vektörlerin her türlü lineer kombinasyonu tek değişkenli normal dağılım sergiler.

Y

'nin beklenen değerini, beklenti operatörünün doğrusallık özelliğini kullanarak hesaplamak.

E(Y) = 1 - 2(-1) + 2 = 5

E(aX_1 + bX_2 + cX_3) = aE(X_1) + bE(X_2) + cE(X_3)

formülü gereğince katsayılar dikkate alınarak toplama yapılır.

Y

'nin varyansını çok değişkenli varyans kurallarına göre hesaplamak.

Var(Y) = 4 + 4(2) + 3 - 4(1) - 2(1) + 0 = 9

Var(aX_1 + bX_2 + cX_3) = a^2Var(X_1) + b^2Var(X_2) + c^2Var(X_3) + 2abCov(X_1,X_2) + 2acCov(X_1,X_3) + 2bcCov(X_2,X_3)

eşitliği uygulanır.

Key Concept

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Lineer Dönüşümler

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics