Examkin

Question

Difficulty: MediumTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir kamu kurumunda işlem gören dosyaların tamamlanma süreleri 00 ile θ\theta gün arasında düzgün (uniform) dağılım göstermektedir. Bu kurumdan rastgele seçilen nn birimlik bir örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n ile gösterildiğine göre, θ\theta parametresinin düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. n+1nX(n)\frac{n+1}{n} X_{(n)}Answer
  2. B
    2Xˉ2\bar{X}
  3. C
    X(n)X_{(n)}
  4. D
    nn+1X(n)\frac{n}{n+1} X_{(n)}
  5. E
    Xˉ+X(n)2\bar{X} + \frac{X_{(n)}}{2}

Answer

n+1nX(n)\frac{n+1}{n} X_{(n)} ifadesi θ\theta parametresi için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE).
Düzgün dağılımda X(n)X_{(n)} istatistiği hem yeterli hem de tamdır. Lehmann-Scheffe teoremine göre, bu istatistiğin yansız bir fonksiyonu olan n+1nX(n)\frac{n+1}{n} X_{(n)}, varyansı tüm yansız tahmin ediciler arasında en küçük olan yegane tahmin edicidir.

Step-by-Step Solution

1
Yeterli ve tam istatistiğin belirlenmesi
T=X(n)=max⁡(X1,…,Xn)T = X_{(n)} = \max(X_1, \dots, X_n) istatistiği yeterli ve tamdır.
Neyman-Fisher çarpanlara ayırma teoremine göre [0,θ][0, \theta] düzgün dağılımı için maksimum gözlem değeri yeterli istatistiktir ve bu aile tamdır.
2
Yeterli istatistiğin beklenen değerinin hesaplanması
E[X(n)]=nn+1θE[X_{(n)}] = \frac{n}{n+1}\theta
X(n)X_{(n)} istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu fX(n)(x)=nxn−1θnf_{X_{(n)}}(x) = \frac{nx^{n-1}}{\theta^n} olup, 00 ile θ\theta arasında integral alındığında sonuç nn+1θ\frac{n}{n+1}\theta bulunur.
3
Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanması
θ^=n+1nX(n)\hat{\theta} = \frac{n+1}{n} X_{(n)}
E[n+1nX(n)]=n+1nE[X(n)]=n+1n⋅nn+1θ=θE[\frac{n+1}{n} X_{(n)}] = \frac{n+1}{n} E[X_{(n)}] = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n}{n+1}\theta = \theta olduğundan, yeterli ve tam istatistiğin bu yansız fonksiyonu UMVUE olur.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

More questions from this topic