Examkin

Question

Difficulty: HardTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Türkiye Meteoroloji Genel Müdürlüğü (MGM), belirli bir bölgede meydana gelen şiddetli lodos fırtınaları arasındaki süreyi (gün cinsinden) analiz etmektedir. İki fırtına arasındaki bekleme süresi, şekil parametresi α=2\alpha = 2 ve ölçek parametresi β\beta (bilinmeyen) olan Gamma dağılımına (olasılık yoğunluk fonksiyonu: f(x)=xβ2e−x/β, x>0f(x) = \frac{x}{\beta^2} e^{-x/\beta}, \ x > 0) sahip XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Araştırmacılar, bölgesel afet hazırlık planı için fırtınalar arası sürenin varyansını tahmin etmek istemektedir.

Rastgele seçilen nn adet fırtına arası bekleme süresi X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n ve örneklem ortalaması Xˉ\bar{X} olmak üzere, ardışık iki fırtına arasındaki sürenin varyansı olan Var(X)=2β2Var(X) = 2\beta^2 parametresi için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    12Xˉ2\frac{1}{2}\bar{X}^2
  2. B
    S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
  3. n2n+1Xˉ2\frac{n}{2n+1}\bar{X}^2Answer
  4. D
    13n∑i=1nXi2\frac{1}{3n} \sum_{i=1}^n X_i^2
  5. E
    2nn+1Xˉ2\frac{2n}{n+1}\bar{X}^2

Answer

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE), tam ve yeterli istatistiğin varyansı düzeltecek yansız bir fonksiyonu olan n2n+1Xˉ2\frac{n}{2n+1}\bar{X}^2 ifadesidir.
Doğru cevap, Lehmann-Scheffe teoremini uygulayarak tam ve yeterli istatistiğin (T=∑XiT = \sum X_i) yansız fonksiyonunu doğru türeten seçenektir. Xi∼Gamma(2,β)X_i \sim Gamma(2, \beta) iken toplam istatistiğinin dağılımı Gamma(2n,β)Gamma(2n, \beta) olur. Bu dağılımın ikinci momenti E[T2]=2n(2n+1)β2E[T^2] = 2n(2n+1)\beta^2'dir. Hedefimiz varyans olan 2β22\beta^2'ye yansız ulaşmak olduğundan ifade E[T2]n(2n+1)\frac{E[T^2]}{n(2n+1)} biçiminde düzenlenir. TT yerine nXˉn\bar{X} yazılarak katsayı sadeleştirmesi yapıldığında benzersiz UMVUE olan n2n+1Xˉ2\frac{n}{2n+1}\bar{X}^2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Olabilirlik fonksiyonundan yeterli istatistiğin belirlenmesi.
Neyman çarpanlara ayırma teoremi ve üstel aile (exponential family) özelliğinden dolayı T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i tam ve yeterli istatistiktir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE, tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olmak zorundadır.
2
Yeterli istatistik T'nin dağılımının ve momentlerinin bulunması.
Xi∼Gamma(2,β)X_i \sim Gamma(2, \beta) bağımsız ve özdeş dağılımlı olduğundan, T∼Gamma(n×2,β)=Gamma(2n,β)T \sim Gamma(n \times 2, \beta) = Gamma(2n, \beta) olur. Buradan E[T]=2nβE[T] = 2n\beta ve Var(T)=2nβ2Var(T) = 2n\beta^2 bulunur.
Yansızlık koşulunu (hedef parametreye eşitliği) sağlamak için T'nin karesel momentine ihtiyacımız vardır.
3
T2T^2'nin beklenen değerinin (E[T^2]) hesaplanması.
E[T2]=Var(T)+(E[T])2=2nβ2+(2nβ)2=2n(2n+1)β2E[T^2] = Var(T) + (E[T])^2 = 2n\beta^2 + (2n\beta)^2 = 2n(2n+1)\beta^2 olarak elde edilir.
Varyans parametresini (2β22\beta^2) barındıran katsayıları izole etmek ve tahmin ediciyi yapılandırmak için gereklidir.
4
Lehmann-Scheffe teoremi ile UMVUE formunun oluşturulması.
E[T2]=n(2n+1)(2β2)E[T^2] = n(2n+1)(2\beta^2) eşitliğinin iki tarafı n(2n+1)n(2n+1) değerine bölündüğünde E[T2n(2n+1)]=2β2E\left[\frac{T^2}{n(2n+1)}\right] = 2\beta^2 elde edilir. T=nXˉT = n\bar{X} yerine konulduğunda n2Xˉ2n(2n+1)=n2n+1Xˉ2\frac{n^2 \bar{X}^2}{n(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}\bar{X}^2 bulunur.
Bu ifade yansızlık şartını sağlar ve Lehmann-Scheffe teoremine göre tam ve yeterli istatistiğe dayalı yansız tek tahmin edici benzersiz UMVUE'dir.

Key Concept

Tamlık ve Lehmann-Scheffe Teoremi
Rate this question

Topics

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

More questions from this topic