Examkin

Question

Difficulty: MediumTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir otomotiv yan sanayi fabrikasında, üretilen özel bir valf parçasının kalite kontrol süreci şu şekilde işlemektedir: Kalite kontrol uzmanı, banttan çıkan ürünleri sırasıyla incelemekte ve ilk kusurlu valfi bulduğunda o partinin denetimini sonlandırmaktadır. Bu süreç birbirinden bağımsız olarak nn farklı partide (n>2)(n > 2) tekrarlanmış ve her bir partide incelenen toplam valf sayısı X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rassal değişkenleri ile ifade edilmiştir.

Bir valfin kusurlu olma olasılığı pp olmak üzere, XiX_i değişkenlerinin f(x;p)=p(1−p)x−1,x=1,2,3,…f(x; p) = p(1-p)^{x-1}, \quad x=1,2,3,\dots şeklinde Geometrik dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Buna göre, Lehmann-Scheffe teoremi dikkate alındığında, kusurlu ürün bulma olasılığı olan pp parametresi için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    n∑i=1nXi\frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}
  2. B
    n∑i=1nXi−1\frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i - 1}
  3. n−1∑i=1nXi−1\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i - 1}Answer
  4. D
    n−1∑i=1nXi\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i}
  5. E
    ∑i=1nXin\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}

Answer

p parametresi için UMVUE, (n−1)/(∑i=1nXi−1)(n-1) / (\sum_{i=1}^n X_i - 1) ifadesidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli bir istatistiğin yansız bir fonksiyonu biricik (unique) UMVUE'dir. Geometrik dağılımlı veride T=∑XiT = \sum X_i istatistiği tam ve yeterlidir. Bu istatistiğin Negatif Binom dağılımı üzerinden beklenen değeri alındığında, E[(n−1)/(T−1)]=pE[(n-1)/(T-1)] = p eşitliği sağlanır. Bu nedenle düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici n−1∑i=1nXi−1\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i - 1} olur.

Step-by-Step Solution

1
Yeterli ve tam istatistiği belirleme
T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiği p için yeterli ve tamdır.
Geometrik dağılım üstel aileye aittir. Olabilirlik fonksiyonu L(p)=pn(1−p)∑Xi−nL(p) = p^n (1-p)^{\sum X_i - n} şeklindedir ve Neyman Çarpanlara Ayırma teoremine göre T=∑XiT = \sum X_i yeterli istatistiktir.
2
Yeterli istatistiğin dağılımını bulma
T∼Negatif Binom(n,p)T \sim \text{Negatif Binom}(n, p) dağılımına sahiptir.
n adet bağımsız Geometrik dağılımlı rassal değişkenin toplamı Negatif Binom dağılımına uyar. Olasılık fonksiyonu: P(T=t)=(t−1n−1)pn(1−p)t−nP(T=t) = \binom{t-1}{n-1} p^n (1-p)^{t-n}, t=n,n+1,…t = n, n+1, \dots
3
Lehmann-Scheffe teoremini uygulama
E[n−1T−1]=pE\left[\frac{n-1}{T-1}\right] = p olduğu kanıtlanır.
Beklenen değer hesabında E[g(T)]=∑t=n∞g(t)(t−1n−1)pn(1−p)t−n=pE[g(T)] = \sum_{t=n}^{\infty} g(t) \binom{t-1}{n-1} p^n (1-p)^{t-n} = p eşitliğini sağlayacak g(t)g(t) fonksiyonu aranır. g(t)=(n−1)/(t−1)g(t) = (n-1)/(t-1) seçildiğinde toplam içindeki ifade p⋅∑(t−2n−2)pn−1(1−p)t−np \cdot \sum \binom{t-2}{n-2} p^{n-1} (1-p)^{t-n} halini alır ve bu toplam Negatif Binom(n-1, p) dağılımının tüm olasılıkları toplamı (1) olduğu için sonuç p çıkar.

Key Concept

Tamlık ve Lehmann-Scheffe Teoremi
Rate this question

Topics

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

More questions from this topic