İstatistiksel modelleme çalışmalarında X ve Y bağımsız sürekli rastgele değişkenleri kulla… — KPSS İstatistik

İstatistiksel modelleme çalışmalarında $X$ ve $Y$ bağımsız sürekli rastgele değişkenleri kullanılarak $U = X/Y$ oran değişkeninin dağılımı araştırılmaktadır. Bu amaçla $U = X/Y$ ve $V = Y$ yardımcı değişken dönüşümü yapıldığında; $X = UV$ ve $Y = V$ ters dönüşümüne ait Jakobiyen (Jacobian) determinantının mutlak değeri $|J|$ aşağıdakilerden hangisidir?

$|V|$ Answer
B
$1/|V|$
C
$1$
D
$|U|$
E
$1/|U|$

Answer

Jakobiyen determinantının mutlak değeri

|V|

'dir.

Verilen

x = uv

y = v

ters dönüşümleri için Jakobiyen matrisi oluşturulduğunda, birinci satırda

x

'in

u

v

'ye göre türevleri (

v, u

), ikinci satırda ise

y

'nin türevleri (

0, 1

) yer alır. Bu matrisin determinantı

v \cdot 1 - u \cdot 0 = v

sonucunu verir. Mutlak değer alındığında sonuç

|V|

olur.

Step-by-Step Solution

Ters dönüşüm denklemlerini belirleyin.

x = uv

y = v

Jakobiyen hesaplamak için eski değişkenlerin (

X, Y

) yeni değişkenler (

U, V

) cinsinden ifade edilmesi gerekir.

x

y

değişkenlerinin

u

v

değişkenlerine göre kısmi türevlerini hesaplayın.

x_u = v, x_v = u, y_u = 0, y_v = 1

Jakobiyen matrisinin elemanlarını oluşturmak için bu türevlere ihtiyaç duyulur.

Jakobiyen matrisinin determinantını hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} v & u \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = (v \times 1) - (u \times 0) = v

Değişken dönüşümü formülünde kullanılacak katsayıyı belirlemek için determinant hesaplanır.

Determinantın mutlak değerini alın.

|J| = |v|

(yardımcı değişken

V = Y

olduğundan

|V|

)

Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif olamayacağı için Jakobiyen her zaman mutlak değer içinde kullanılır.

Key Concept

İki değişkenli dönüşümlerde Jakobiyen yöntemi

Alternative Method

Özel bir durum olarak, eğer

X

Y

bağımsız standart normal dağılıma sahipse, bu oran dönüşümü sonucunda oluşan

U = X/Y

değişkeni Cauchy dağılımı izler.

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics