Bir siber güvenlik uzmanı, bir sisteme sızma testi (penetrasyon) uygularken her bir deneme… — KPSS İstatistik

Bir siber güvenlik uzmanı, bir sisteme sızma testi (penetrasyon) uygularken her bir denemesinde güvenlik duvarını aşma olasılığı $p = \frac{1}{3}$ olan birbirinden bağımsız girişimlerde bulunmaktadır.

$X$ rastgele değişkeni, güvenlik duvarının ilk kez başarıyla aşıldığı ana kadar yapılan toplam deneme sayısını;
$Y$ rastgele değişkeni ise ilk başarılı girişime kadar yaşanan başarısız deneme sayısını temsil etmektedir.

İlk 2 denemenin başarısız olduğu bilindiğine göre; sistemin tam olarak 5. denemede (toplam 5. girişimde) aşılma olasılığı, $Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[Y]$ ) ve $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$\frac{4}{27}$ , $2$ , $6$ Answer
B
$\frac{8}{81}$ , $3$ , $6$
C
$\frac{4}{27}$ , $2$ , $2$
D
$\frac{16}{243}$ , $2$ , $6$
E
$\frac{16}{243}$ , $3$ , $9$

Answer

Sistemin 5. denemede aşılma olasılığı

\frac{4}{27}

, başarısız deneme sayısının beklenen değeri

2

ve toplam deneme sayısının varyansı

6

'dır.

Soruda istenilen değerler Geometrik dağılımın temel özellikleri yardımıyla adım adım bulunabilir. İlk olarak, Geometrik dağılımın en önemli özelliği olan hafızasızlık özelliği kullanıldığında

P(X=5 | X>2) = P(X=3)

olur. Formülde yerine konulduğunda

(1-1/3)^{3-1} \cdot (1/3) = (2/3)^2 \cdot (1/3) = 4/27

bulunur. İkinci olarak,

Y

(başarısızlık sayısı) değişkeninin beklenen değeri

E[Y] = (1-p)/p = (2/3)/(1/3) = 2

olarak hesaplanır. Üçüncü olarak,

X

'in varyansı standart Geometrik dağılım varyans formülü olan

(1-p)/p^2 = (2/3)/(1/9) = 6

ile bulunur. Bu üç değeri doğru veren seçenek aranan yanıttır.

Step-by-Step Solution

Koşullu olasılığı hesaplamak için Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliğini uygulama.

P(X=5 | X>2) = P(X = 5 - 2) = P(X=3)

Geometrik dağılım hafızasızdır; geçmişteki başarısız denemeler, gelecekteki başarı olasılığını etkilemez. Süreç 3. denemeden itibaren baştan başlıyormuş gibi düşünülür.

P(X=3)

olasılığını

p = 1/3

için Geometrik dağılım formülü ile hesaplama.

P(X=3) = (1-p)^{3-1} \cdot p = (2/3)^2 \cdot (1/3) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}

İlk başarının 3. denemede gerçekleşmesi, ilk 2 denemenin başarısız, 3. denemenin başarılı olması demektir.

İlk başarılı girişime kadar geçen başarısız deneme sayısı olan

Y

'nin beklenen değerini (

E[Y]

) hesaplama.

Y = X - 1

olduğundan,

E[Y] = E[X] - 1 = \frac{1}{p} - 1 = \frac{1-p}{p} = \frac{2/3}{1/3} = 2

Toplam deneme sayısının beklenen değeri

E[X] = 1/p = 3

'tür. Son deneme başarılı olduğuna göre, başarısız denemelerin beklenen değeri bundan 1 eksiktir.

X

rastgele değişkeninin varyansını (

Var(X)

) standart formülü kullanarak hesaplama.

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{2/3}{(1/3)^2} = \frac{2/3}{1/9} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6

Geometrik dağılımda (

X

toplam deneme sayısı ise) varyans formülü

\frac{1-p}{p^2}

'dir.

Var(X)

ile

Var(Y)

aynıdır, değişkenlere sabit sayı eklemek veya çıkarmak varyansı değiştirmez.

Key Concept

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği, Beklenen Değer ve Varyans Kavramları

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic