Bir gümrük muhafaza memuru, yurtdışından gelen kargoları yasadışı madde tespiti amacıyla s… — KPSS İstatistik

Bir gümrük muhafaza memuru, yurtdışından gelen kargoları yasadışı madde tespiti amacıyla sırasıyla ve birbirinden bağımsız olarak incelemektedir. Her bir kargonun şüpheli olma olasılığı sabittir. Memurun ilk şüpheli kargoyu bulana kadar incelediği toplam kargo sayısını ifade eden rastgele değişkenin beklenen değeri $3$ 'tür.

Memur, mesaisinin başında ilk $2$ kargoyu incelemiş ve herhangi bir şüpheli duruma rastlamamıştır.

Buna göre, memurun ilk şüpheli kargoyu tam olarak $5.$ kargoda bulma olasılığı ile inceleyeceği toplam kargo sayısının varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{27}{256}$ ve $12$
B
$\frac{16}{243}$ ve $6$
$\frac{4}{27}$ ve $6$ Answer
D
$\frac{4}{27}$ ve $9$
E
$\frac{80}{243}$ ve $\frac{10}{9}$

Answer

Doğru yanıt olasılığın

\frac{4}{27}

ve varyansın

6

olduğu seçenektir.

Soruda rastgele değişken, 'ilk şüpheli kargoyu bulana kadar incelenen toplam kargo sayısı' (

X \in \{1, 2, 3, \dots\}

) olarak tanımlanmıştır. Beklenen değer

E[X] = \frac{1}{p} = 3

olduğundan

p = \frac{1}{3}

olur. Varyans formülü

Var(X) = \frac{1-p}{p^2}

kullanıldığında

Var(X) = \frac{2/3}{1/9} = 6

bulunur. Olasılık hesabı için geometrik dağılımın temel özelliği olan hafızasızlık (memoryless) ilkesi kullanılır. İlk 2 kargonun şüpheli olmadığı bilindiği için

P(X = 5 \mid X > 2) = P(X = 5 - 2) = P(X = 3)

olur. Formülde yerine konulduğunda

P(X = 3) = (1 - \frac{1}{3})^{3-1} \cdot (\frac{1}{3}) = (\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

X

rastgele değişkenini ve başarı olasılığını (

p

) tanımlayın.

X

, ilk şüpheli kargoyu bulana kadar incelenen toplam kargo sayısıdır ve

X \sim \text{Geo}(p)

dağılımına uyar.

E[X] = \frac{1}{p} = 3

verildiğinden,

p = \frac{1}{3}

bulunur.

Geometrik dağılımda toplam deneme sayısı tanımlandığında beklenen değer formülü

E[X] = \frac{1}{p}

şeklindedir.

X

'in varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{2/3}{1/9} = 6

elde edilir.

Toplam deneme sayısını modelleyen geometrik dağılımın varyans formülü

\frac{1-p}{p^2}

'dir.

İlk 2 kargoda şüpheli durum bulunmadığı bilgisine (

X > 2

) dayanarak tam

5.

kargoda şüpheli bulma olasılığını yazın.

İstenen olasılık koşullu bir olasılıktır:

P(X = 5 \mid X > 2)

Mesainin başındaki ilk 2 incelemenin başarısız (şüpheli değil) olduğu bilinmektedir.

Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak koşullu olasılığı hesaplayın.

P(X = 5 \mid X > 2) = P(X = 5 - 2) = P(X = 3)

P(X = 3) = (1-p)^{3-1}p = (1 - \frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3}) = (\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}

bulunur.

Geometrik dağılım, kesikli rastgele değişkenler arasında hafızasızlık özelliğine sahip tek dağılımdır:

P(X = s+t \mid X > s) = P(X = t)

Key Concept

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Momentleri

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic