Examkin

Question

Difficulty: HardKanonik Değişkenler ve Kanonik Korelasyon Katsayısı

Büyük ölçekli bir kentsel dönüşüm projesinde, bölgenin ulaşım altyapısına ait p=4p=4 farklı yapısal özelliği içeren veri matrisi (XX) ile bölgedeki hava ve gürültü kirliliğini ölçen q=3q=3 değişkenli çevresel etki matrisi (YY) arasındaki doğrusal ilişki yapısı Kanonik Korelasyon Analizi kullanılarak modellenmektedir.

İlgili varyans-kovaryans matrisleri üzerinden hesaplanan Sxx−1SxySyy−1SyxS_{xx}^{-1}S_{xy}S_{yy}^{-1}S_{yx} matrisinin sıfırdan farklı özdeğerleri sırasıyla λ1=0.81\lambda_1 = 0.81, λ2=0.25\lambda_2 = 0.25 ve λ3=0.04\lambda_3 = 0.04 olarak elde edilmiştir.

Analizin tüm temel varsayımlarının sağlandığı kabul edildiğinde, türetilen kanonik değişken çiftleri (Ui,ViU_i, V_i) ve kanonik korelasyon katsayıları (ρi\rho_i) hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak kesinlikle doğrudur?

  1. İkinci kanonik korelasyon katsayısı 0.500.50'dir ve farklı sıralara ait kanonik değişkenler (örneğin birinci çiftin değişkeni U1U_1 ile ikinci çiftin değişkeni V2V_2) birbirine dik (ortogonal) yapıda oldukları için aralarındaki korelasyon sıfırdır.Answer
  2. B
    Analiz sonucunda değişken sayılarının toplamı kadar en fazla 77 adet kanonik değişken çifti türetilebilir ve birinci kanonik korelasyon katsayısı doğrudan en büyük özdeğer olan 0.810.81'e eşittir.
  3. C
    Her bir kanonik değişken çiftinin doğrusal kombinasyonunu oluşturmak için hesaplanan katsayılar vektörü (kanonik ağırlıklar), o kanonik değişkenin orijinal XX veya YY değişkenleriyle olan doğrudan korelasyonunu (kanonik yükünü) ifade eder.
  4. D
    Kanonik korelasyon katsayılarının kareleri toplamı (0.81+0.25+0.04=1.100.81 + 0.25 + 0.04 = 1.10), YY çevresel etki veri setindeki toplam varyansın XX ulaşım seti tarafından açıklanan yüzdesini veren fazlalık indeksine (redundancy index) eşittir.

Answer

İkinci kanonik korelasyon katsayısının 0.50 olduğu ve farklı sıralara ait kanonik değişkenler arasındaki korelasyonun (kovaryansın) sıfır olduğunu belirten ifade doğrudur.
Kanonik Korelasyon Analizinde, ii-yinci kanonik korelasyon katsayısı (ρi\rho_i), hesaplanan matrisin ii-yinci özdeğerinin (λi\lambda_i) kareköküdür; bu sebeple ikinci katsayı 0.25=0.50\sqrt{0.25} = 0.50 olmalıdır. Ayrıca, analizin en temel özelliklerinden biri ortogonalliktir (diklik). Türetilen kanonik değişkenler (Ui,ViU_i, V_i) sadece kendi eşleriyle (aynı ii indeksinde) korelasyonludur. Farklı indekslere sahip herhangi iki kanonik değişken (örneğin U1U_1 ve V2V_2) arasındaki korelasyon her zaman sıfırdır. Doğru ifade her iki kuralı da eksiksiz biçimde yansıtmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Elde edilebilecek maksimum kanonik değişken çifti sayısını belirleme.
Maksimum çift sayısı s=min⁡(p,q)=min⁡(4,3)=3s = \min(p, q) = \min(4, 3) = 3'tür.
Kanonik analizde, boyutu küçük olan değişken seti kadar birbirinden bağımsız değişken çifti türetilebilir.
2
İlgili özdeğerleri (λi\lambda_i) kullanarak kanonik korelasyon katsayılarını (ρi\rho_i) hesaplama.
ρ1=0.81=0.90\rho_1 = \sqrt{0.81} = 0.90, ρ2=0.25=0.50\rho_2 = \sqrt{0.25} = 0.50, ρ3=0.04=0.20\rho_3 = \sqrt{0.04} = 0.20 bulunur.
Her bir kanonik korelasyon katsayısı, Sxx−1SxySyy−1SyxS_{xx}^{-1}S_{xy}S_{yy}^{-1}S_{yx} matrisinin karşılık gelen özdeğerinin pozitif kareköküne eşittir.
3
Kanonik değişkenlerin çapraz ilişkilerini (ortogonallik özelliklerini) değerlendirme.
U1U_1 ile U2U_2, V1V_1 ile V2V_2 ve özellikle çapraz eşleşmeler olan U1U_1 ile V2V_2 arasındaki korelasyon tam olarak sıfırdır (00).
Kanonik analizin maksimizasyon problemi kısıtları gereği, aynı indekse sahip olmayan (farklı çiftlerdeki) türetilmiş değişkenler birbirine bütünüyle diktir (ilişkisizdir).

Key Concept

Kanonik korelasyon katsayısı hesaplaması ve kanonik değişkenlerin diklik (ortogonallik) özellikleri
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kanonik Değişkenler ve Kanonik Korelasyon Katsayısı

More questions from this topic