\{Y_k\}_{k \ge 1} beklenen değerleri E[Y_k] = 3 olan bağımsız ve aynı dağılımlı (i.i.d.) r… — KPSS İstatistik

$\{Y_k\}_{k \ge 1}$ beklenen değerleri $E[Y_k] = 3$ olan bağımsız ve aynı dağılımlı (i.i.d.) rastgele değişkenler dizisi olsun. $S_n = \sum_{k=1}^n Y_k$ ve $S_0 = 0$ olarak tanımlanan toplam süreci için, $\{\mathcal{F}_n\}$ doğal filtrasyonuna göre aşağıdakilerden hangisi bir martingal (martingale) teşkil eder?

$M_n = S_n - 3n$ Answer
B
$M_n = S_n$
C
$M_n = S_n + 3n$
D
$M_n = S_n - n$
E
$M_n = 3S_n$

Answer

Toplam sürecinden kümülatif beklenen değerin çıkarılmasıyla elde edilen

M_n = S_n - 3n

süreci bir martingaldir.

Martingal süreçlerde 'drift' (eğilim) bulunmamalıdır.

S_n

süreci her adımda ortalama 3 birim arttığı için bu artış miktarının (

3n

) süreçten çıkarılması, süreci yatay bir beklentiye (

E[M_n] = 0

) sahip hale getirir ve martingal şartını sağlar.

Step-by-Step Solution

Martingal tanımını ve şartını belirleyelim.

E[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = M_n

eşitliği sağlanmalıdır.

Bir sürecin martingal olması için gelecekteki beklenen değerinin, mevcut tüm bilgiler ışığında şimdiki değerine eşit olması gerekir.

S_{n+1}

ifadesini bir önceki adım cinsinden yazalım.

S_{n+1} = S_n + Y_{n+1}

Toplam sürecinin tanımı gereği her yeni adım bir önceki toplama yeni bir rastgele değişken ekler.

M_n = S_n - 3n

ifadesi için koşullu beklentiyi hesaplayalım.

E[S_{n+1} - 3(n+1) | \mathcal{F}_n] = E[S_n + Y_{n+1} - 3n - 3 | \mathcal{F}_n] = S_n - 3n + E[Y_{n+1}] - 3 = S_n - 3n + 3 - 3 = S_n - 3n

E[Y_k] = 3

verildiği için

Y_{n+1}

değişkeninin beklenen değeri 3'tür ve bu değer çıkarılan sabit ile birbirini sıfırlar.

Key Concept

Martingal Dönüşümü (Centering)

Practice More

Bağımsız değişkenlerin karesiyle ilgili (variance process) martingal dönüşümlerini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics

More questions from this topic