Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar

Bir araştırmacı X1,X2X_1, X_2 ve X3X_3 değişkenlerinden oluşan bir veri seti üzerinde varyans-kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen özdeğerler aşağıda verilmiştir:

ÖzdeğerDeğer
λ1\lambda_115
λ2\lambda_29
λ3\lambda_36

Birinci temel bileşene (Y1Y_1) ait katsayılar vektörü e1′=[a,0,0,6]e_1' = [a, 0, 0,6] olarak belirlendiğine göre, Y1Y_1 bileşeninin varyansı (Var(Y1)Var(Y_1)) ve aa katsayısının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 15 ve 0,8Answer
  2. B
    15 ve 0,64
  3. C
    30 ve 0,8
  4. D
    9 ve 0,8
  5. E
    15 ve 0,4

Answer

Birinci temel bileşenin varyansı 15 ve aa katsayısının değeri 0,8'dir.
Temel Bileşenler Analizi'nde temel bileşenlerin varyansları, kullanılan matrisin özdeğerlerine eşittir. En büyük varyansa sahip olan birinci temel bileşenin varyansı en büyük özdeğer olan 15'tir. Ayrıca, temel bileşenleri oluşturan doğrusal kombinasyonların katsayılar vektörü normalize edilmiştir; bu nedenle katsayıların kareleri toplamı 1 olmalıdır (a2+02+0,62=1a^2 + 0^2 + 0,6^2 = 1). Buradan a=0,8a=0,8 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci temel bileşenin varyansını belirleyin.
Var(Y1)=λ1=15Var(Y_1) = \lambda_1 = 15
Varyans-kovaryans matrisi üzerinden yapılan TBA'da, ii. temel bileşenin varyansı ii. özdeğere eşittir.
2
Katsayılar vektörü için normalizasyon kuralını yazın.
a2+02+0,62=1a^2 + 0^2 + 0,6^2 = 1
Temel bileşen katsayılar vektörü (özvektör) birim uzunlukta olmalıdır, yani katsayıların kareleri toplamı 1'e eşit olmalıdır.
3
Denklemi çözerek aa değerini bulun.
a2+0,36=1  ⟹  a2=0,64  ⟹  a=0,8a^2 + 0,36 = 1 \implies a^2 = 0,64 \implies a = 0,8
a2=1−0,36a^2 = 1 - 0,36 işlemi yapılarak aa katsayısının pozitif değeri hesaplanır.

Key Concept

Temel Bileşen Varyansı ve Özvektör Normalizasyonu
Rate this question

Topics

Temel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar