Question

Difficulty: EasyÇok Değişkenli Normal Dağılım

$\mathbf{X} = (X_1, X_2)^T$ rastgele vektörünün, ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu}$ ve varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ aşağıda verilen iki değişkenli normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir:

\mathbf{X} \sim N_2 \left( \begin{pmatrix} 12 \\ 15 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 36 & 6 \\ 6 & 49 \end{pmatrix} \right)

Buna göre, $X_2$ rastgele değişkeninin marjinal dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

$N(15, 49)$ Answer
B
$N(12, 36)$
C
$N(15, 7)$
D
$N(15, 6)$
E
$N(12, 6)$

Answer

X_2 değişkeninin marjinal dağılımı N(15, 49) şeklindedir.

Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir vektörde, her bir bileşenin marjinal dağılımı da normaldir.

X_2

değişkeni için bu dağılımın ortalaması

\mu_2 = 15

ve varyansı

\sigma_2^2 = 49

olarak matris ve vektörden doğrudan okunabilir.

Step-by-Step Solution

1

Ortalama vektörünü analiz et

E[X_2] = 15

\boldsymbol{\mu} = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix}

vektöründeki ikinci eleman

X_2

değişkeninin beklenen değeridir.

2

Varyans-kovaryans matrisini analiz et

Var(X_2) = \sigma_2^2 = 49

\boldsymbol{\Sigma}

matrisindeki ikinci satır, ikinci sütun elemanı (

a_{22}

)

X_2

değişkeninin varyansını verir.

3

Marjinal dağılım özelliğini uygula

X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) = N(15, 49)

Çok değişkenli normal dağılımın herhangi bir alt kümesi (marjinal dağılımı) de normal dağılıma sahiptir.

Key Concept

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Marjinal Dağılım Parametrelerinin Belirlenmesi

Rate this question

Topics

Çok Değişkenli Normal Dağılım