Kitle ortalamasının tahmininde yardımcı değişken (x) bilgisinin kullanıldığı bir araştırma… — KPSS İstatistik

Kitle ortalamasının tahmininde yardımcı değişken ( $x$ ) bilgisinin kullanıldığı bir araştırmada; basit rastgele örnekleme ortalaması ( $\bar{y}$ ), oran tahminleyicisi ( $\bar{y}_R$ ) ve doğrusal regresyon tahminleyicisi ( $\bar{y}_{lr}$ ) karşılaştırılmaktadır.

İlgilenilen değişken ( $y$ ) ve yardımcı değişken ( $x$ ) için hesaplanan istatistikler şu şekildedir:
- Değişim katsayıları: $C_x = 0,50$ ve $C_y = 0,50$
- Korelasyon katsayısı: $\rho = 0,40$

Bu bilgilere göre; söz konusu üç tahminleyicinin varyanslarının küçüklüğüne (etkinliklerine) dayalı olarak en etkin olandan en az etkin olana doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

$\bar{y}_{lr} > \bar{y} > \bar{y}_R$ Answer
B
$\bar{y}_{lr} > \bar{y}_R > \bar{y}$
C
$\bar{y}_R > \bar{y}_{lr} > \bar{y}$
D
$\bar{y} > \bar{y}_{lr} > \bar{y}_R$
E
$\bar{y}_R > \bar{y} > \bar{y}_{lr}$

Answer

Verilen istatistiklere göre tahminleyicilerin etkinlik sıralaması

\bar{y}_{lr} > \bar{y} > \bar{y}_R

şeklindedir.

Doğrusal regresyon tahminleyicisi, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasında bir korelasyon (

ρ = 0,40

) olduğu için basit ortalamadan daha etkindir. Ancak oran tahminleyicisinin basit ortalamadan daha etkin olması için gereken

ρ > C_x / 2C_y

koşulu (

0,40 > 0,50

) sağlanmadığı için oran tahminleyicisi basit ortalamadan daha az etkin kalmaktadır. Bu durum, regresyon tahminleyicisinin en etkin, oran tahminleyicisinin ise en az etkin olduğu bir sıralama doğurur.

Step-by-Step Solution

Oran tahminleyicisinin basit ortalamadan daha etkin olma koşulunu kontrol edin.

\rho > \frac{C_x}{2C_y} \Rightarrow 0,40 > \frac{0,50}{2(0,50)} \Rightarrow 0,40 > 0,50

(Bu koşul sağlanmaz).

Oran tahminleyicisinin varyansı, ancak korelasyon katsayısı bu kritik eşik değerini aştığında basit ortalamanın varyansından daha küçük olur.

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin basit ortalamaya göre etkinliğini hesaplayın.

V(\bar{y}_{lr}) \approx V(\bar{y})(1 - \rho^2) = V(\bar{y})(1 - 0,40^2) = 0,84 V(\bar{y})

Regresyon tahminleyicisi, değişkenler arasında herhangi bir doğrusal ilişki (

ρ ≠ 0

) olduğu sürece basit ortalamadan daha etkin bir tahmin sunar.

Üç tahminleyicinin göreli varyanslarını karşılaştırarak sıralayın.

Varyanslar:

V(\bar{y}_{lr}) = 0,84 V(\bar{y})

V(\bar{y}) = 1,00 V(\bar{y})

V(\bar{y}_R) = V(\bar{y})(1 + 1^2 - 2 \cdot 0,4 \cdot 1) = 1,20 V(\bar{y})

Varyans ne kadar küçükse etkinlik o kadar yüksektir. Bu durumda

0,84 < 1,00 < 1,20

olduğundan en etkin olan regresyon, en az etkin olan ise oran tahminleyicisidir.

Key Concept

Tahminleyici Etkinliği ve Koşullar

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics