Bir otonom aracın direksiyon açısındaki sapma hataları (derece cinsinden) X rastgele değiş… — KPSS İstatistik

Bir otonom aracın direksiyon açısındaki sapma hataları (derece cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Sistemin kalibrasyonu gereği bu hataların $(-\theta, \theta)$ aralığında sürekli düzgün dağılıma (Uniform dağılım) sahip olduğu varsayılmaktadır. Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir.

Rastgele seçilen $n$ adet sapma hatası ölçümü $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisi $\tilde{\theta}$ aşağıdakilerden hangisidir?

(Burada $M_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$ , örneklemin $k$ . momentini göstermektedir.)

$\sqrt{3 M_2}$ Answer
B
$\sqrt{12 M_2}$
C
$2 M_1$
D
$\sqrt{\frac{M_2}{3}}$
E
$3 M_2$

Answer

Momentler yöntemi tahmin edicisi

\sqrt{3 M_2}

ifadesidir.

Momentler yönteminde temel kural, kitlenin teorik momentlerini örneklemin momentlerine eşitleyerek parametreleri çekmektir.

U(-\theta, \theta)

dağılımında birinci kitle momenti (beklenen değer)

E[X] = 0

'dır ve

\theta

parametresini içermez. Bu nedenle birinci momentten tahmin yapılamaz ve ikinci momente geçilir. Dağılımın ikinci kitle momenti

E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 = \frac{(\theta - (-\theta))^2}{12} + 0 = \frac{4\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{3}

şeklindedir. Bu değer, ikinci örneklem momenti olan

M_2

'ye eşitlendiğinde

\frac{\theta^2}{3} = M_2

denklemi elde edilir. Buradan

\theta

çekilerek

\tilde{\theta} = \sqrt{3 M_2}

doğru sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Birinci kitle momentinin (beklenen değer) hesaplanması.

E[X] = \frac{-\theta + \theta}{2} = 0

bulunur.

Dağılım orijine göre simetrik olduğu için beklenen değer sıfırdır ve bilinmeyen

\theta

parametresi hakkında bilgi vermez. Bu nedenle ikinci momente geçilmelidir.

İkinci kitle momentinin hesaplanması.

E[X^2] = \int_{-\theta}^{\theta} x^2 \frac{1}{2\theta} dx = \frac{1}{2\theta} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\theta}^{\theta} = \frac{\theta^2}{3}

olarak hesaplanır.

Parametreyi tahmin edebilmek için, parametreyi içeren en küçük dereceli sıfırdan farklı momente ihtiyaç vardır.

Kitle momenti ile örneklem momentinin eşitlenmesi ve tahmin edicinin çekilmesi.

\frac{\theta^2}{3} = M_2 \implies \theta^2 = 3 M_2 \implies \tilde{\theta} = \sqrt{3 M_2}

elde edilir.

Momentler yönteminin temel prensibi gereği kitle momenti, karşılık gelen örneklem momentine (

M_2

) eşitlenerek denklem çözülür.

Key Concept

Momentler Yöntemi ve Beklenen Değeri Sıfır Olan Dağılımlarda Parametre Tahmini

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic