Examkin

Question

Difficulty: Very hardSonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD)

Bir uluslararası taşımacılık firmasının filosunda N=64N = 64 adet kargo uçağı bulunmaktadır. Bu uçakların belirli bir yılda taşıdıkları yük miktarlarına (ton) ilişkin kitle varyansının σ2=∑i=1N(Yi−μ)2N=1344\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N (Y_i - \mu)^2}{N} = 1344 olduğu raporlanmıştır. Firma yönetimi, söz konusu yılda filonun taşıdığı toplam yük miktarını tahmin etmek amacıyla, basit rastgele iadesiz örnekleme yöntemiyle n=16n = 16 uçağı rastgele seçerek inceliyor.

Buna göre, kitle toplamı tahmin edicisinin varyansı (V(Y^)V(\hat{Y})) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    64
  2. B
    4.096
  3. C
    258.048
  4. 262.144Answer
  5. E
    344.064

Answer

Doğru değer 262.144'tür.
Soruda kitle varyansı (σ2\sigma^2) verildiği için iadesiz seçimde varyans hesabında SKD olarak (N−n)/(N−1)(N-n)/(N-1) çarpanı kullanılmalıdır. Önce örneklem ortalamasının varyansı V(yˉ)=(σ2/n)⋅[(N−n)/(N−1)]=(1344/16)⋅(48/63)=64V(\bar{y}) = (\sigma^2/n) \cdot [(N-n)/(N-1)] = (1344/16) \cdot (48/63) = 64 olarak bulunur. Kitle toplamı tahmin edicisinin varyansı ise V(Y^)=N2⋅V(yˉ)=642⋅64=4096⋅64=262.144V(\hat{Y}) = N^2 \cdot V(\bar{y}) = 64^2 \cdot 64 = 4096 \cdot 64 = 262.144 şeklinde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kitle varyansı (σ2\sigma^2) kullanılarak örneklem ortalamasının varyansı için uygun formülü belirleme
V(yˉ)=σ2n⋅N−nN−1V(\bar{y}) = \frac{\sigma^2}{n} \cdot \frac{N-n}{N-1}
İadesiz seçim yapıldığından ve soruda S2S^2 yerine kitle varyansı (σ2\sigma^2) verildiğinden, Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) olarak N−nN−1\frac{N-n}{N-1} çarpanı kullanılmalıdır.
2
Örneklem ortalamasının varyansını (V(yˉ)V(\bar{y})) sayısal olarak hesaplama
V(yˉ)=134416⋅64−1664−1=84⋅4863=84⋅1621=64V(\bar{y}) = \frac{1344}{16} \cdot \frac{64-16}{64-1} = 84 \cdot \frac{48}{63} = 84 \cdot \frac{16}{21} = 64
Verilen N=64,n=16N=64, n=16 ve σ2=1344\sigma^2=1344 değerleri formülde yerine konulur.
3
Kitle toplamı tahmin edicisinin varyansını (V(Y^)V(\hat{Y})) bulma
V(Y^)=N2⋅V(yˉ)=642⋅64=4096⋅64=262.144V(\hat{Y}) = N^2 \cdot V(\bar{y}) = 64^2 \cdot 64 = 4096 \cdot 64 = 262.144
Kitle toplamı tahmini, örneklem ortalamasının kitle büyüklüğü (NN) ile çarpılmasıyla (Y^=N⋅yˉ\hat{Y} = N \cdot \bar{y}) elde edilir. Varyans operatörünün kuralı gereği sabit sayı dışarıya karesi alınarak (N2N^2) çıkar.

Key Concept

İadesiz seçimde σ2\sigma^2 bilindiğinde kitle toplamı varyansının hesabı ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanının (SKD) doğru uyarlanması

Alternative Method

Alternatif olarak, önce kitle varyansı (σ2\sigma^2) düzeltilmiş kitle varyansına (S2S^2) dönüştürülebilir: S2=NN−1σ2=6463⋅1344=1365.33S^2 = \frac{N}{N-1} \sigma^2 = \frac{64}{63} \cdot 1344 = 1365.33. Ardından S2S^2'ye uygun olan SKD ile formül uygulanır: V(yˉ)=N−nNS2n=4864⋅1365.3316=64V(\bar{y}) = \frac{N-n}{N} \frac{S^2}{n} = \frac{48}{64} \cdot \frac{1365.33}{16} = 64. Sonrasında N2N^2 ile çarpılarak kitle toplamı varyansına (262.144262.144) ulaşılır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD)

More questions from this topic