Examkin

Question

Difficulty: Very hardDeney, Örnek Uzay ve Olaylar

Bir Ω\Omega örnek uzayında tanımlanan A1,A2A_1, A_2 ve A3A_3 olayları ile ilgili aşağıdaki özellikler bilinmektedir:

I. Deney sonucunda bu üç olaydan en az birinin gerçekleşmesi kesin olaydır.
II. Üç olayın da aynı anda gerçekleşmesi imkânsız olaydır.
III. Herhangi iki olay birbirini dışlamayan (ikişerli ayrık olmayan) olaylardır.

Buna göre, bu deney sonucunda "yalnızca bir" olayın gerçekleştiği durumu temsil eden küme aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (A1∩A2)c∩(A1∩A3)c∩(A2∩A3)c(A_1 \cap A_2)^c \cap (A_1 \cap A_3)^c \cap (A_2 \cap A_3)^cAnswer
  2. B
    (A1∩A2)∪(A1∩A3)∪(A2∩A3)(A_1 \cap A_2) \cup (A_1 \cap A_3) \cup (A_2 \cap A_3)
  3. C
    (A1∪A2∪A3)∖(A1∩A2∩A3)(A_1 \cup A_2 \cup A_3) \setminus (A_1 \cap A_2 \cap A_3)
  4. D
    A1c∩A2c∩A3cA_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c
  5. E
    (A1∪A2)c∩(A1∪A3)c∩(A2∪A3)c(A_1 \cup A_2)^c \cap (A_1 \cup A_3)^c \cap (A_2 \cup A_3)^c

Answer

Doğru yanıt, en az iki olayın kesişimlerinin tümleyenlerinin kesişimini ifade eden (A1∩A2)c∩(A1∩A3)c∩(A2∩A3)c(A_1 \cap A_2)^c \cap (A_1 \cap A_3)^c \cap (A_2 \cap A_3)^c seçeneğidir.
Verilen koşullarda deneyin örnek uzayı sadece 'yalnızca bir olayın gerçekleştiği' ve 'tam olarak iki olayın gerçekleştiği' durumlara indirgenmiştir ('hiçbiri' ve 'üçü' imkansızdır). Dolayısıyla 'yalnızca bir' olay, 'tam olarak iki' olayın birleşiminin tümleyeni alınarak bulunur. De Morgan kuralı uygulandığında ((A1∩A2)∪(A1∩A3)∪(A2∩A3))c((A_1 \cap A_2) \cup (A_1 \cap A_3) \cup (A_2 \cap A_3))^c ifadesi (A1∩A2)c∩(A1∩A3)c∩(A2∩A3)c(A_1 \cap A_2)^c \cap (A_1 \cap A_3)^c \cap (A_2 \cap A_3)^c şekline dönüşür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen koşulları soyut küme notasyonuna dönüştürmek.
I. Koşuldan A1∪A2∪A3=ΩA_1 \cup A_2 \cup A_3 = \Omega, II. Koşuldan A1∩A2∩A3=∅A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \emptyset eşitlikleri yazılır.
Olay uzayının temel parametrelerini ve sınırlarını matematiksel olarak belirlemek için.
2
Örnek uzayı karşılıklı ayrık bölgelere (partition) ayırarak analiz etmek.
Örnek uzay normalde 'hiçbiri', 'yalnızca biri', 'tam olarak ikisi' ve 'üçü birden' bölgelerinden oluşur. Adım 1'deki eşitlikler sayesinde 'hiçbiri' ve 'üçü birden' bölgelerinin boş küme (∅\emptyset) olduğu tespit edilir.
Örnek uzayda sadece 'yalnızca biri' ve 'tam olarak ikisi' olaylarının gerçekleşebileceğini kanıtlamak için.
3
'Tam olarak iki' olayın gerçekleştiği durumu modellemek.
Üç olay aynı anda gerçekleşemediği için, olayların ikişerli kesişimleri doğrudan 'tam olarak ikisinin' gerçekleştiği durumları verir: (A1∩A2)∪(A1∩A3)∪(A2∩A3)(A_1 \cap A_2) \cup (A_1 \cap A_3) \cup (A_2 \cap A_3). III. Koşul bu kümenin boş olmadığını gösterir.
Örnek uzaydaki iki ana bileşenden (yalnızca biri ve tam olarak ikisi) birini matematiksel olarak ifade etmek için.
4
Tümleyen ilişkisini kullanarak istenen olayı bulmak.
Örnek uzay (Ω\Omega) sadece 'yalnızca biri' ve 'tam olarak ikisi' durumlarından oluştuğundan, 'yalnızca biri' durumu, 'tam olarak ikisi' durumunun tümleyenidir: ((A1∩A2)∪(A1∩A3)∪(A2∩A3))c((A_1 \cap A_2) \cup (A_1 \cap A_3) \cup (A_2 \cap A_3))^c.
İstenen durumu, bilinen parçanın örnek uzaydaki karşılıklı ayrık tümleyeni olarak hesaplamak için.
5
De Morgan kurallarını uygulayarak ifadeyi seçeneklerdeki formata dönüştürmek.
((A1∩A2)∪(A1∩A3)∪(A2∩A3))c=(A1∩A2)c∩(A1∩A3)c∩(A2∩A3)c((A_1 \cap A_2) \cup (A_1 \cap A_3) \cup (A_2 \cap A_3))^c = (A_1 \cap A_2)^c \cap (A_1 \cap A_3)^c \cap (A_2 \cap A_3)^c elde edilir.
Birleşimlerin tümleyenini, kesişimlerin tümleyenlerinin kesişimi olarak yazmak için.

Key Concept

Örnek Uzay Parçalanmaları (Partitions) ve De Morgan Kuralları
Rate this question

Topics

Deney, Örnek Uzay ve Olaylar

More questions from this topic