Sadece pozitif değerler alan bir X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF) M… — KPSS İstatistik

Sadece pozitif değerler alan bir

X

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF)

M_X(t) = (1-3t)^{-2}, \quad t < \frac{1}{3}

olarak verilmiştir.

Markov eşitsizliği kullanılarak $P(X \ge 18)$ olasılığı için üst sınırlar belirlenmek istenmektedir. $X$ 'in beklenen değeri kullanılarak elde edilen standart Markov üst sınırı $S_1$ ve $X$ 'in karesel dönüşümü ( $X^2$ ) üzerinden yine Markov eşitsizliği uygulanarak elde edilen üst sınır $S_2$ olduğuna göre, $S_1 - S_2$ farkı kaçtır?

$\frac{1}{6}$ Answer
B
$\frac{5}{24}$
C
$\frac{5}{18}$
D
$\frac{5}{54}$
E
$\frac{1}{2}$

Answer

Hesaplanan S_1 (1/3) ve S_2 (1/6) değerlerinin farkı 1/6'dır.

Doğru cevap, MGF kullanılarak bulunan

E[X]=6

E[X^2]=54

momentlerinin Markov eşitsizliğine doğru biçimde yerleştirilmesiyle elde edilir. Standart eşitsizlik

S_1 = 6/18 = 1/3

sonucunu verir.

X

'in karesel dönüşümü için ise olay

P(X^2 \ge 324)

haline gelir ve sınır

S_2 = 54/324 = 1/6

olur. Bu iki değerin farkı

1/3 - 1/6 = 1/6

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Moment çıkaran fonksiyonun birinci türevini alarak beklenen değeri (

E[X]

) hesapla.

M_X'(t) = -2(1-3t)^{-3} \cdot (-3) = 6(1-3t)^{-3} \implies E[X] = M_X'(0) = 6

Markov eşitsizliğinin standart formu için

X

'in birinci momentine ihtiyaç vardır.

Moment çıkaran fonksiyonun ikinci türevini alarak karesel beklenen değeri (

E[X^2]

) hesapla.

M_X''(t) = -18(1-3t)^{-4} \cdot (-3) = 54(1-3t)^{-4} \implies E[X^2] = M_X''(0) = 54

X^2

dönüşümü üzerinden Markov eşitsizliği kurabilmek için ikinci momente ihtiyaç vardır.

X

'in beklenen değeri üzerinden standart Markov üst sınırını (

S_1

) hesapla.

P(X \ge 18) \le \frac{E[X]}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \implies S_1 = \frac{1}{3}

Markov eşitsizliği formülü

P(X \ge a) \le \frac{E[X]}{a}

şeklindedir.

X^2

dönüşümü üzerinden Markov üst sınırını (

S_2

) hesapla.

X \ge 18 \implies X^2 \ge 324

P(X^2 \ge 324) \le \frac{E[X^2]}{324} = \frac{54}{324} = \frac{1}{6} \implies S_2 = \frac{1}{6}

X

pozitif tanımlı olduğundan

X \ge a

olayı ile

X^2 \ge a^2

olayı denktir; monoton artan fonksiyonlar Markov eşitsizliği mantığıyla daha dar sınırlar üretebilir.

Bulunan

S_1

S_2

değerlerinin farkını al.

S_1 - S_2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

Soruda iki sınır arasındaki fark istenmektedir.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyonlar ve Markov Eşitsizliğinin Dönüşümlere Uygulanması

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic