Bir kamu iktisadi teşebbüsünün (KİT) günlük net kârı, X (milyon TL) rastgele değişkeni ile… — KPSS İstatistik

Bir kamu iktisadi teşebbüsünün (KİT) günlük net kârı, $X$ (milyon TL) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in alabileceği en düşük değer, kurumun maksimum günlük zarar kapasitesi olan $-5$ milyon TL'dir ( $X \ge -5$ ).
Bu kurumun günlük beklenen kârının $E[X] = 15$ milyon TL olduğu bilinmektedir.

Buna göre, kurumun belirli bir günde en az $45$ milyon TL kâr elde etme olasılığına ( $P(X \ge 45)$ ) dair, Markov eşitsizliği kullanılarak bulunabilecek en kesin üst sınır aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{1}{4}$
B
$\frac{3}{10}$
C
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{5}$ Answer
E
$\frac{4}{9}$

Answer

Doğru cevap

\frac{2}{5}

değeridir. Markov eşitsizliğini uygulayabilmek için değişkenin negatif olmayan bir forma dönüştürülmesi (

Y = X + 5

) gerekir.

Markov eşitsizliği, yalnızca negatif olmayan rastgele değişkenler için geçerlidir. Soru metninde

X

değişkeninin

-5

değerini alabildiği belirtilmiştir, bu sebeple doğrudan Markov eşitsizliği uygulanamaz. En kesin üst sınırı bulmak için

X

'i sıfır veya pozitif yapacak en küçük sabit olan

5

değeri eklenir.

Y = X + 5

dönüşümü yapıldığında

Y \ge 0

güvence altına alınır. Yeni değişkenin beklenen değeri

E[Y] = E[X] + 5 = 15 + 5 = 20

olarak hesaplanır. İstenen olasılık durumu olan

P(X \ge 45)

, eşdeğer olarak

P(X + 5 \ge 45 + 5) \implies P(Y \ge 50)

biçimine dönüşür. Markov eşitsizliği kuralı gereği

P(Y \ge 50) \le \frac{E[Y]}{50} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}

sonucuna ulaşılır. Herhangi farklı bir

c > 5

eklemesi yapılsaydı üst sınır oranı

\frac{15+c}{45+c}

şeklinde artacak ve daha az kesin bir sınır verecekti.

Step-by-Step Solution

Markov eşitsizliğinin ön koşulunu değerlendirme.

X \ge -5

olduğundan

X

negatif değerler alabilir. Bu nedenle Markov eşitsizliği doğrudan

X

üzerine uygulanamaz.

Teorem yalnızca

X \ge 0

şartını sağlayan rastgele değişkenler için geçerlidir.

Değişkeni negatif olmayan bir forma dönüştürme.

Y = X + 5

dönüşümü yapılır. Bu durumda minimum değer

-5 + 5 = 0

olacağından

Y \ge 0

şartı sağlanır.

Markov eşitsizliğini uygulayabilmek için değişkenin alabileceği tüm değerlerin sıfır veya pozitif olması gereklidir.

Yeni değişkenin beklenen değerini (

E[Y]

) hesaplama.

Beklenen değerin doğrusallık özelliği gereği

E[Y] = E[X + 5] = E[X] + 5 = 15 + 5 = 20

milyon TL bulunur.

Eşitsizlik formülünde dönüştürülmüş değişkenin beklenen değerine ihtiyaç vardır.

İstenen olasılık ifadesini

Y

cinsinden yazma.

P(X \ge 45)

ifadesi, eşitsizliğin her iki tarafına

5

eklenerek

P(X + 5 \ge 45 + 5) = P(Y \ge 50)

şekline getirilir.

Markov eşitsizliği yeni oluşturulan

Y

değişkeninin belirli bir sınırı aşma olasılığını bulmak için kullanılacaktır.

Markov eşitsizliğini

Y

değişkenine uygulama.

P(Y \ge 50) \le \frac{E[Y]}{50} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}

üst sınırı elde edilir.

Negatif olmayan

Y

değişkeni için

P(Y \ge a) \le \frac{E[Y]}{a}

formülü kullanılarak en kesin sınıra ulaşılır.

Key Concept

Markov eşitsizliğinin uygulanabilmesi için rastgele değişkenin sadece negatif olmayan değerler alması gerektiği (

X \ge 0

) şartı ve uygun doğrusal dönüşüm teknikleri.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic