Examkin

Question

Difficulty: MediumDeğişkenlerin Fark, Çarpım ve Bölüm Dağılımları

Birbirinden bağımsız XX ve YY rastgele değişkenlerinin her ikisi de standart normal dağılıma (N(0,1)N(0,1)) sahiptir.

Buna göre, Z=XYZ = \frac{X}{Y} şeklinde tanımlanan ZZ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı ve beklenen değeri (E[Z]E[Z]) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    ZZ rastgele değişkeni standart normal dağılıma sahiptir ve beklenen değeri 00'dır.
  2. B
    ZZ rastgele değişkeni 1 serbestlik dereceli Student-tt dağılımına sahiptir ve beklenen değeri 00'dır.
  3. ZZ rastgele değişkeni standart Cauchy dağılımına sahiptir ve beklenen değeri tanımsızdır.Answer
  4. D
    ZZ rastgele değişkeni FF-dağılımına sahiptir ve beklenen değeri 11'dir.
  5. E
    ZZ değişkeninin dağılımı ancak ortak kovaryans değeri bilindiğinde bulunabilir.

Answer

Doğru yanıt, elde edilen dağılımın standart Cauchy dağılımı olduğu ve bu dağılımın beklenen değerinin tanımsız olduğunu belirten seçenektir.
İki bağımsız standart normal dağılımlı rastgele değişkenin oranı (X/YX/Y), daima standart Cauchy dağılımını (1 serbestlik dereceli Student-tt dağılımı) verir. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri incelendiğinde, kuyrukları xx-eksenine çok yavaş yaklaştığı için beklenen değerin bulunmasında kullanılan ∫−∞∞∣x∣f(x)dx\int_{-\infty}^{\infty} |x| f(x) dx integrali ıraksaktır. Bu nedenle, dağılım her ne kadar sıfıra göre simetrik olsa da Cauchy dağılımının bir beklenen değeri (veya varyansı) yoktur, yani tanımsızdır.

Step-by-Step Solution

1
Z=XYZ = \frac{X}{Y} dönüşümü ile elde edilen dağılımın türünü belirlemek.
Bağımsız iki standart normal değişkenin oranının her zaman standart Cauchy dağılımına (veya eşdeğer olarak 1 serbestlik dereceli Student-t dağılımına) uyduğu istatistiksel bir gerçektir.
Olasılık kuramındaki temel değişken dönüşüm ve jakobiyen teoremlerinin standart normal değişkenlere uygulanması sonucu bu özel dağılım elde edilir.
2
Elde edilen standart Cauchy dağılımının beklenen değerini incelemek.
Cauchy dağılımı için hesaplanması gereken ∫−∞∞z⋅f(z)dz\int_{-\infty}^{\infty} z \cdot f(z) dz integrali mutlak yakınsak değildir.
İntegral, olasılık yoğunluk fonksiyonunun kuyruklarının (tails) yavaş sönümlenmesi nedeniyle ∞−∞\infty - \infty belirsizliğine yol açar; bu yüzden dağılım sıfıra göre simetrik olsa bile beklenen değer matematiksel olarak tanımsızdır.

Key Concept

İki standart normal değişkenin oranının dağılımı ve Cauchy dağılımının beklenen değerinin bulunmaması
Rate this question

Topics

Değişkenlerin Fark, Çarpım ve Bölüm Dağılımları