Bir araştırmacı, ortalaması \mu ve varyansı \sigma^2 olan bir kitleye ait n çaplı bağımsız… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kitleye ait $n$ çaplı bağımsız rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) üzerinden $\mu$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki $T$ istatistiğini önermiştir:

T = \frac{1}{n+2} \sum_{i=1}^n X_i

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}$
B
$\frac{\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}$
$\frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}$ Answer
D
$\frac{4\mu^2}{(n+2)^2}$
E
$\frac{n\sigma^2 + \mu^2}{(n+2)^2}$

Answer

Doğru cevap,

T

tahmin edicisinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamı olan

\frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}

ifadesidir.

Verilen

T

tahmin edicisi için MSE hesaplaması

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

temel eşitliğine dayanır.

T

'nin varyansı

Var(T) = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

olarak hesaplanır. Yan miktarı ise

E(T) - \mu = \frac{n\mu}{n+2} - \mu = \frac{-2\mu}{n+2}

bulunur ve bunun karesi alındığında

\frac{4\mu^2}{(n+2)^2}

elde edilir. Bu iki terimin toplanmasıyla doğru Hata Kareler Ortalaması

\frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}

biçiminde bulunur.

Step-by-Step Solution

MSE tanımını formülize etme.

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

eşitliği yazılır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), daima tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesaplama.

E(T) = \frac{1}{n+2} \sum E(X_i) = \frac{n\mu}{n+2}

. Buradan yan miktarı:

Bias(T) = E(T) - \mu = \frac{n\mu}{n+2} - \frac{(n+2)\mu}{n+2} = \frac{-2\mu}{n+2}

olarak bulunur.

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametrenin farkıdır.

Bulunan yan miktarının karesini alma.

[Bias(T)]^2 = \left(\frac{-2\mu}{n+2}\right)^2 = \frac{4\mu^2}{(n+2)^2}

MSE formülündeki ikinci terimi elde etmek için.

T

tahmin edicisinin varyansını hesaplama.

Var(T) = Var\left(\frac{1}{n+2} \sum X_i\right) = \frac{1}{(n+2)^2} \sum Var(X_i) = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

Sabit katsayının karesi alınarak varyans operatörü dışına çıkarılır ve bağımsız örneklem nedeniyle varyanslar toplanır.

Varyans ve yan miktarının karesini toplayarak MSE'yi elde etme.

MSE(T) = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2} + \frac{4\mu^2}{(n+2)^2} = \frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2}

MSE tanımının gerektirdiği tüm bileşenlerin nihai birleşimi.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması'nın (MSE) varyans ve yanın karesi (bias squared) cinsinden ayrıştırılması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic