X_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı, (0, \theta) aralığında sürekli düzgün (un… — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı, $(0, \theta)$ aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip rastgele örneklem olsun. $\theta$ parametresinin tahmini için, örneklem maksimumu $X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ olmak üzere $\hat{\theta}_c = c \cdot X_{(n)}$ biçiminde bir tahmin edici sınıfı tanımlanmıştır ( $c > 0$ bir sabit).

Buna göre, Hata Kareler Ortalamasını (MSE) minimum yapan optimal $c$ değeri için elde edilen minimum MSE değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{\theta^2}{(n+1)^2}$ Answer
B
$\frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}$
C
$\frac{2\theta^2}{(n+1)(n+2)}$
D
$\frac{\theta^2}{n(n+2)}$
E
$\frac{\theta^2}{n}$

Answer

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) minimum yapan değer

\frac{\theta^2}{(n+1)^2}

formülü ile elde edilir.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken

MSE(\hat{\theta}_c) = E[(c X_{(n)} - \theta)^2]

fonksiyonu oluşturulur. Bu fonksiyonun

c

'ye göre türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde MSE'yi minimum yapan katsayının

c = \frac{n+2}{n+1}

olduğu bulunur. Bu optimal katsayı ana denklemde yerine konulduğunda, varyans ile yanlılığın karesinin toplamı en aza iner ve minimum MSE değeri olan

\frac{\theta^2}{(n+1)^2}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

X_{(n)}

istatistiğinin birinci ve ikinci momentlerini belirle.

E[X_{(n)}] = \frac{n}{n+1}\theta

E[X_{(n)}^2] = \frac{n}{n+2}\theta^2

MSE hesabında kullanılacak beklenen değer ve varyans bileşenleri için momentlere ihtiyaç vardır.

\hat{\theta}_c = cX_{(n)}

için Hata Kareler Ortalaması (MSE) fonksiyonunu

c

'ye bağlı olarak yaz.

MSE(\hat{\theta}_c) = E[(cX_{(n)} - \theta)^2] = c^2 E[X_{(n)}^2] - 2c\theta E[X_{(n)}] + \theta^2 = \theta^2 \left( c^2 \frac{n}{n+2} - 2c \frac{n}{n+1} + 1 \right)

Optimal

c

değerini bulabilmek için MSE'nin bir fonksiyon olarak ifade edilmesi gerekir.

MSE fonksiyonunun

c

'ye göre türevini alarak sıfıra eşitle ve optimal

c

değerini bul.

\frac{d}{dc} MSE = \theta^2 \left( 2c \frac{n}{n+2} - 2 \frac{n}{n+1} \right) = 0 \implies c = \frac{n+2}{n+1}

Bir fonksiyonun minimum noktası, birinci türevinin sıfır olduğu noktadır.

Bulunan optimal

c = \frac{n+2}{n+1}

değerini MSE fonksiyonunda yerine koy.

MSE_{min} = \theta^2 \left( \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^2 \frac{n}{n+2} - 2\left(\frac{n+2}{n+1}\right) \frac{n}{n+1} + 1 \right) = \theta^2 \left( \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} - \frac{2n(n+2)}{(n+1)^2} + 1 \right)

Soruda istenen değer minimum MSE değerinin kendisidir.

İfadeyi cebirsel olarak basitleştir.

MSE_{min} = \theta^2 \left( 1 - \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right) = \theta^2 \left( \frac{n^2+2n+1 - n^2-2n}{(n+1)^2} \right) = \frac{\theta^2}{(n+1)^2}

Seçeneklerdeki nihai formata ulaşmak için ortak payda işlemi yapılır.

Key Concept

Hata Kareler Ortalamasının (MSE) varyans ve yan (bias) dengesi üzerinden optimizasyonu

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic