Bir enerji şirketinde, rüzgâr türbinlerinin günlük enerji üretim miktarları rastgele değiş… — KPSS İstatistik

Bir enerji şirketinde, rüzgâr türbinlerinin günlük enerji üretim miktarları rastgele değişkeni $X$ 'in beklenen değeri $E(X) = \mu$ ve varyansı $Var(X) = \sigma^2$ olarak bilinmektedir. Şirketin veri analisti, rastgele seçilmiş birbirinden bağımsız $n$ günlük üretim verisinden yola çıkarak hesapladığı günlük ortalama üretim miktarını $\bar{X}$ ile göstermektedir.

Analist,

\mu

parametresini tahmin etmek amacıyla,

T = \frac{n-1}{n}\bar{X}

şeklinde yeni bir tahmin edici tanımlamıştır.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3}$
B
$\frac{(n-1)^2 (\sigma^2 + n \mu^2)}{n^3}$
$\frac{(n-1)^2 \sigma^2 + n \mu^2}{n^3}$ Answer
D
$\frac{n \sigma^2 + \mu^2}{n^2}$
E
$\frac{(n-1)^2 \sigma^2 - n \mu^2}{n^3}$

Answer

\frac{(n-1)^2 \sigma^2 + n \mu^2}{n^3}

ifadesidir. Hata Kareler Ortalaması, varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Hata Kareler Ortalaması, tahmin edicinin varyansı ile yan (bias) miktarının karesinin toplamı formülüyle hesaplanır. Tahmin edicinin varyansı

\frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3}

ve yan miktarı

-\frac{\mu}{n}

olarak bulunur. Yan miktarının karesi olan

\frac{\mu^2}{n^2}

ifadesi varyansa eklendiğinde ve paydalar eşitlendiğinde doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını hesapla.

E(T) = E\left(\frac{n-1}{n}\bar{X}\right) = \frac{n-1}{n}E(\bar{X}) = \frac{n-1}{n}\mu

. Yan miktar:

Yan(T) = E(T) - \mu = \frac{n-1}{n}\mu - \mu = -\frac{1}{n}\mu

MSE formülünde kullanılacak olan yan (bias) miktarını bulmak için tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki fark alınmalıdır.

T

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T) = Var\left(\frac{n-1}{n}\bar{X}\right) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2 Var(\bar{X}) = \frac{(n-1)^2}{n^2} \frac{\sigma^2}{n} = \frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3}

MSE formülünün diğer bileşeni olan tahmin edicinin varyansına ihtiyaç vardır. Varyans operatörü dışına sabitler karesi alınarak çıkar.

Varyans ve yan miktarının karesini toplayarak Hata Kareler Ortalamasını (MSE) elde et.

MSE(T) = Var(T) + [Yan(T)]^2 = \frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3} + \left(-\frac{\mu}{n}\right)^2 = \frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3} + \frac{\mu^2}{n^2}

Bir tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE), her zaman tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Bulunan ifadeyi ortak paydada birleştirerek sadeleştir.

\frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3} + \frac{n \mu^2}{n^3} = \frac{(n-1)^2 \sigma^2 + n \mu^2}{n^3}

Seçeneklerdeki matematiksel formata uygun sonuca ulaşmak için cebirsel düzenleme yapılır.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Hesaplaması

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic