Examkin

Question

Difficulty: MediumRao-Blackwell Teoremi

Tarım ve Orman Bakanlığı'nda görevli bir ziraat mühendisi, belirli bir bölgedeki mısır tarlalarından elde edilen verimi incelemektedir. Parsellerden alınan nn adet bağımsız ve aynı dağılımlı gözlem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olsun. Bu dağılımın beklenen değeri E(Xi)=μE(X_i) = \mu ve varyansı Var(Xi)=σ2<∞Var(X_i) = \sigma^2 < \infty şeklindedir. Mühendis, μ\mu parametresi için yansız bir tahmin edici olarak ilk parselin verimini (μ^=X1\hat{\mu} = X_1) kullanmaktadır. Ancak daha sonra, T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin μ\mu için yeterli olduğunu fark etmiştir.

Rao-Blackwell teoremi kullanılarak E(X1∣T)E(X_1 | T) ifadesi ile elde edilen yeni tahmin edicinin varyansı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. A
    σ2\sigma^2
  2. σ2n\frac{\sigma^2}{n}Answer
  3. C
    σ2n2\frac{\sigma^2}{n^2}
  4. D
    nσ2n \sigma^2
  5. E
    σ2n−1\frac{\sigma^2}{n-1}

Answer

İyileştirilmiş tahmin edicinin varyansı σ2n\frac{\sigma^2}{n} ifadesine eşittir.
Rao-Blackwell teoremi uygulandığında, X1X_1 yansız tahmin edicisinin ∑Xi\sum X_i yeterli istatistiği üzerindeki koşullu beklenen değeri örneklem ortalaması olan Xˉ\bar{X}'i verir. Örneklem ortalamasının varyansı ise ana kitle varyansının örneklem çapına bölünmesiyle (σ2/n\sigma^2/n) bulunur. Bu değer, orijinal tahmin edicinin varyansı olan σ2\sigma^2 değerinden daha küçüktür.

Step-by-Step Solution

1
Rao-Blackwell tahmin edicisini tanımla.
η=E(X1∣T)\eta = E(X_1 | T) burada T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i
Teorem gereği, yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik üzerine koşullu beklenen değeri, en az onun kadar iyi bir tahmin edicidir.
2
Simetri özelliğini kullanarak koşullu beklenen değeri hesapla.
E(X1∣T)=E(X2∣T)=⋯=E(Xn∣T)=1n∑i=1nE(Xi∣T)=Tn=XˉE(X_1 | T) = E(X_2 | T) = \dots = E(X_n | T) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i | T) = \frac{T}{n} = \bar{X}
Gözlemler bağımsız ve aynı dağılımlı olduğu için toplam verildiğinde her bir gözlemin beklenen katkısı eşittir.
3
Elde edilen tahmin edicinin varyansını hesapla.
Var(Xˉ)=Var(∑Xin)=1n2∑Var(Xi)=nσ2n2=σ2nVar(\bar{X}) = Var\left(\frac{\sum X_i}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \sum Var(X_i) = \frac{n \sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}
Bağımsız değişkenlerin toplamının varyansı, varyansların toplamına eşittir ve sabit çarpan dışarı karesi alınarak çıkar.

Key Concept

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans İndirgeme

Alternative Method

Varyansın her zaman azalacağını veya eşit kalacağını (Var(E[θ^∣T])≤Var(θ^)Var(E[\hat{\theta}|T]) \leq Var(\hat{\theta})) bildiğimiz varyans ayrıştırma formülü (Var(X)=E[Var(X∣T)]+Var(E[X∣T])Var(X) = E[Var(X|T)] + Var(E[X|T])) üzerinden de mantık yürütülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Rao-Blackwell Teoremi

More questions from this topic