Examkin

Question

Difficulty: MediumEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bir araştırmacı, gerçekleşme süreleri sürekli olan ve belirli bir θ>0\theta > 0 parametresine sahip üstel dağılım ile modellenen bağımsız bir X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemini incelemektedir. İlgili kitleye ait gözlemlerin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)=θe−θx,x>0f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}, \quad x > 0

Araştırmacı, bu kitlede gerçekleşecek yeni bir gözlem değerinin 2'yi aşma olasılığını (P(X>2)P(X > 2)) tahmin etmek istemektedir.

Buna göre, araştırmacının ilgilendiği bu olasılık değeri için kullanması gereken en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1−e−2/Xˉ1 - e^{-2/\bar{X}}
  2. B
    1Xˉe−2/Xˉ\frac{1}{\bar{X}} e^{-2/\bar{X}}
  3. C
    e−2/∑i=1nXie^{-2/\sum_{i=1}^n X_i}
  4. e−2/Xˉe^{-2/\bar{X}}Answer
  5. E
    e−2Xˉe^{-2\bar{X}}

Answer

Doğru tahmin edici e−2/Xˉe^{-2/\bar{X}} olmalıdır. MLE'nin değişmezlik özelliği gereği, önce θ\theta'nın tahmin edicisi bulunmalı ve bu değer ilgili olasılık fonksiyonunda yerine yazılmalıdır.
En çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) bulunurken önce olabilirlik fonksiyonu oluşturulup türevi sıfıra eşitlenerek üstel dağılım için tahmin edici θ^=1/Xˉ\hat{\theta} = 1/\bar{X} olarak elde edilir. Ardından soruda istenen olasılık değeri integral işlemi ile P(X>2)=e−2θP(X>2) = e^{-2\theta} şeklinde hesaplanır. Son olarak, MLE'nin değişmezlik (invariance) özelliği gereği θ^\hat{\theta} değeri bu olasılık fonksiyonunda yerine konularak doğru sonuç e−2/Xˉe^{-2/\bar{X}} şeklinde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluşturma
L(θ)=∏i=1nθe−θxi=θne−θ∑i=1nxiL(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta e^{-\theta x_i} = \theta^n e^{-\theta \sum_{i=1}^n x_i}
Örneklemdeki gözlemlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu üzerinden parametrenin olabilirliğini modellemek.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunu yazma ve θ\theta'ya göre türev alma
ln⁡L(θ)=nln⁡θ−θ∑i=1nxi  ⟹  ∂ln⁡L(θ)∂θ=nθ−∑i=1nxi\ln L(\theta) = n \ln \theta - \theta \sum_{i=1}^n x_i \implies \frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = \frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^n x_i
Çarpım durumundaki fonksiyonun maksimizasyonunu toplam durumuna getirerek türev işlemini kolaylaştırmak.
3
Türevi sıfıra eşitleyerek en çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) bulma
nθ−∑i=1nxi=0  ⟹  θ^=n∑i=1nXi=1Xˉ\frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^n x_i = 0 \implies \hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i} = \frac{1}{\bar{X}}
Fonksiyonun maksimum noktasını bularak parametre tahmin edicisini elde etmek.
4
İstenen olasılık değerini (P(X>2)P(X>2)) parametre (θ\theta) cinsinden ifade etme
P(X>2)=∫2∞θe−θxdx=[−e−θx]2∞=e−2θP(X > 2) = \int_2^\infty \theta e^{-\theta x} dx = \left[ -e^{-\theta x} \right]_2^\infty = e^{-2\theta}
Tahmin edilecek fonksiyonun parametrik formunu belirleyerek değişmezlik özelliğine hazırlık yapmak.
5
Değişmezlik (Invariance) özelliğini kullanarak tahmini olasılığı bulma
P(X>2)^=e−2θ^=e−2/Xˉ\widehat{P(X > 2)} = e^{-2\hat{\theta}} = e^{-2/\bar{X}}
En çok olabilirlik yönteminin, parametrenin herhangi bir fonksiyonunun tahmininde de geçerli olma özelliğinden faydalanmak.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Tahmininde Değişmezlik (Invariance) Özelliği
Rate this question

Topics

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

More questions from this topic