Examkin

Question

Difficulty: Medium(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Butik bir otelin resepsiyonunda tek bir görevli hizmet vermektedir. Otele müşteri varışları saatte ortalama 44 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, bir müşterinin kayıt işlemlerinin süresi ise ortalama 1515 dakika olacak şekilde üstel dağılıma uygundur. Otel lobisinin fiziksel kapasitesi, işlemleri süren müşteri dahil toplam 33 kişi ile sınırlıdır. Lobide yer olmadığında gelen müşteriler otele kabul edilmeden geri dönmektedir.

Buna göre, otel resepsiyonuna kabul edilen efektif varış hızı (λeff\lambda_{eff}) saatte kaç müşteridir?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Answer
  4. D
    4
  5. E
    0,25

Answer

Efektif varış hızı saatte 3 müşteridir.
Verilen problemde λ=4\lambda = 4 ve μ=4\mu = 4 olduğu için ρ=1\rho = 1 durumundadır. Sistemin toplam kapasitesi K=3K = 3 olduğundan, sistemin dolu olma olasılığı P3=1/(3+1)=0,25P_3 = 1/(3+1) = 0,25 olarak hesaplanır. Efektif varış hızı, sisteme girmeyi başaranların hızını temsil eder ve λ×(1−P3)\lambda \times (1 - P_3) işlemiyle 33 müşteri/saat olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parametrelerin ortak birime (saat) dönüştürülmesi
λ=4\lambda = 4 müşteri/saat; μ=60/15=4\mu = 60 / 15 = 4 müşteri/saat
Kuyruk modellerinde varış ve hizmet hızlarının aynı zaman birimi cinsinden olması zorunludur.
2
Trafik yoğunluğunun (ρ\rho) hesaplanması
ρ=λ/μ=4/4=1\rho = \lambda / \mu = 4 / 4 = 1
Sistemin çalışma karakteristiğini ve kullanılacak olasılık formüllerini belirlemek için gereklidir.
3
Sistemin dolu olma (kayıp/bloklanma) olasılığının (PKP_K) hesaplanması
P3=1/(K+1)=1/(3+1)=0,25P_3 = 1 / (K + 1) = 1 / (3 + 1) = 0,25
ρ=1\rho = 1 olduğu durumlarda M/M/1/KM/M/1/K modelinde her durumun olasılığı birbirine eşittir ve 1/(K+1)1/(K+1) formülüyle bulunur.
4
Efektif varış hızının (λeff\lambda_{eff}) hesaplanması
λeff=λ×(1−P3)=4×(1−0,25)=3\lambda_{eff} = \lambda \times (1 - P_3) = 4 \times (1 - 0,25) = 3 müşteri/saat
Efektif varış hızı, sisteme gelenlerin sistemin dolu olmama olasılığı ile çarpılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Sonlu kapasiteli (M/M/1/K) sistemlerde, sistem doluyken gelen müşteriler kaybolur; bu nedenle sisteme giren gerçek (efektif) varış hızı ham varış hızından düşüktür.

Alternative Method

ρ=1\rho = 1 olduğu durumlarda, tüm durum olasılıkları (P0,P1,P2,P3P_0, P_1, P_2, P_3) eşit olup 0,250,25 değerindedir. λeff\lambda_{eff} ayrıca μ×(1−P0)\mu \times (1 - P_0) formülüyle de bulunabilir. Buradan 4×(1−0,25)=34 \times (1 - 0,25) = 3 sonucuna ulaşılır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

More questions from this topic