Examkin

Question

Difficulty: Hard(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Üst düzey güvenlik protokollerinin uygulandığı bir kamu kurumunun gizli belge imha tesisinde, belgeler tek bir özel fırında (imha ünitesinde) yok edilmektedir.

Tesis girişine imha edilecek belge getiren araçların varışları, ortalama 55 dakikada 11 araç olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır. Özel fırındaki imha işlemleri ise üstel dağılıma uymakta olup, araç başına ortalama 1010 dakika sürmektedir. Güvenlik kuralları gereği, tesis içine (fırında işlem gören araç dâhil) aynı anda en fazla 33 araç alınabilmektedir. Kapasite doluyken gelen araçlar güvenlik riski oluşturmamak için tesise alınmadan derhâl geri çevrilmektedir.

Buna göre, sisteme kabul edilen araçların saatteki efektif varış hızı (λeff\lambda_{\text{eff}}) ve tesis içinde sırasını bekleyen ortalama araç sayısı (LqL_q) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 285\frac{28}{5} ve 43\frac{4}{3}Answer
  2. B
    143\frac{14}{3} ve 415\frac{4}{15}
  3. C
    285\frac{28}{5} ve 3415\frac{34}{15}
  4. D
    99 ve 34\frac{3}{4}
  5. E
    1212 ve 43\frac{4}{3}

Answer

Efektif varış hızı 285\frac{28}{5} ve kuyruktaki araç sayısı 43\frac{4}{3}'tür.
Soruda kapasite K=3K=3 ile sınırlandırılmıştır. Saatteki hızlar λ=12\lambda=12 ve μ=6\mu=6 olduğundan yoğunluk ρ=2\rho=2'dir. ρ≠1\rho \neq 1 olduğu için P0=(1−ρ)/(1−ρK+1)=1/15P_0 = (1-\rho)/(1-\rho^{K+1}) = 1/15 ve P3=ρ3P0=8/15P_3 = \rho^3 P_0 = 8/15 bulunur. Efektif varış hızı λeff=λ(1−P3)=12(7/15)=28/5\lambda_{\text{eff}} = \lambda(1-P_3) = 12(7/15) = 28/5 hesaplanır. Sistemdeki müşteri sayısı L=34/15L=34/15, kuyruktaki müşteri sayısı ise Lq=L−(1−P0)=4/3L_q = L - (1-P_0) = 4/3 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen süreleri aynı zaman birimi (saat) üzerinden varış (λ\lambda) ve hizmet (μ\mu) hızlarına dönüştürün.
λ=605=12\lambda = \frac{60}{5} = 12 araç/saat ve μ=6010=6\mu = \frac{60}{10} = 6 araç/saat.
Kuyruk modellerinde oranların aynı zaman dilimini (genellikle saat) yansıtması gerekir.
2
Kapasiteyi belirleyip, trafik yoğunluğunu (ρ\rho) hesaplayın.
K=3K = 3 (1 işlemde + 2 kuyrukta). ρ=λμ=126=2\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{12}{6} = 2.
ρ≠1\rho \neq 1 olduğu için genel (M/M/1/K) formülleri kullanılmalıdır.
3
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) ve sistemin tam dolu olma olasılığını (P3P_3) hesaplayın.
P0=1−ρ1−ρK+1=1−21−24=−1−15=115P_0 = \frac{1 - \rho}{1 - \rho^{K+1}} = \frac{1 - 2}{1 - 2^4} = \frac{-1}{-15} = \frac{1}{15}. P3=ρ3P0=8×115=815P_3 = \rho^3 P_0 = 8 \times \frac{1}{15} = \frac{8}{15}.
Efektif varış hızı ve sistemdeki araç sayılarını bulmak için sınır olasılık durumlarına ihtiyaç vardır.
4
Saatteki efektif varış hızını (λeff\lambda_{\text{eff}}) hesaplayın.
λeff=λ(1−P3)=12×(1−815)=12×715=8415=285\lambda_{\text{eff}} = \lambda (1 - P_3) = 12 \times (1 - \frac{8}{15}) = 12 \times \frac{7}{15} = \frac{84}{15} = \frac{28}{5} araç/saat.
Sistem dolu olduğunda gelen araçlar reddedildiği için yalnızca sisteme kabul edilenler hesaba katılır.
5
Sistemdeki ortalama araç sayısını (LL) bulup, buradan kuyruktaki ortalama araç sayısını (LqL_q) elde edin.
L=∑n=03nPn=0(115)+1(215)+2(415)+3(815)=3415L = \sum_{n=0}^{3} n P_n = 0(\frac{1}{15}) + 1(\frac{2}{15}) + 2(\frac{4}{15}) + 3(\frac{8}{15}) = \frac{34}{15}. Lq=L−(1−P0)=3415−1415=2015=43L_q = L - (1 - P_0) = \frac{34}{15} - \frac{14}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}.
Kuyruktaki ortalama müşteri sayısı, sistemdeki toplam müşteri sayısından hizmet görenlerin ortalamasının çıkarılmasıyla bulunur.

Key Concept

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model Hesaplamaları
Rate this question

Topics

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

More questions from this topic