Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar

İki değişkenli bir veri setinde (X1,X2)(X_1, X_2) değişkenlerine ait örneklem varyans-kovaryans matrisi aşağıda verilmiştir:

S=[106610] S = \begin{bmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \\ \end{bmatrix}

Bu veri setine uygulanan Temel Bileşenler Analizi (TBA) sonucunda birinci temel bileşen (Y1Y_1), değişkenlerin Y1=a11X1+a12X2Y_1 = a_{11}X_1 + a_{12}X_2 biçimindeki bir doğrusal kombinasyonu olarak elde edilmektedir. a11=a12a_{11} = a_{12} olduğu ve katsayılar vektörünün birim uzunlukta (a′a=1a'a = 1) olduğu bilindiğine göre, birinci temel bileşenin varyansı kaçtır?

  1. 16Answer
  2. B
    10
  3. C
    4
  4. D
    20
  5. E
    1

Answer

Birinci temel bileşenin varyansı, varyans-kovaryans matrisinin en büyük özdeğeri olan 16'dır.
Varyans-kovaryans matrisinin özdeğerleri, o matrise uygulanan Temel Bileşenler Analizi sonucunda elde edilen bileşenlerin varyanslarını verir. Karakteristik denklem (10−λ)2−36=0(10-\lambda)^2 - 36 = 0 çözüldüğünde λ1=16\lambda_1 = 16 ve λ2=4\lambda_2 = 4 değerleri elde edilir. Birinci temel bileşen en yüksek varyansı açıkladığı için değeri 16 olur. Ayrıca a11=a12a_{11} = a_{12} şartı, birinci özvektörün yönüyle (x1=x2x_1 = x_2) uyumludur.

Step-by-Step Solution

1
∣S−λI∣=0|S - \lambda I| = 0 karakteristik denklemini kurunuz.
(10−λ)2−62=0(10 - \lambda)^2 - 6^2 = 0
Matrisin özdeğerleri, temel bileşenlerin varyanslarını verir.
2
Karakteristik denklemi çözerek özdeğerleri bulunuz.
10−λ=±6⇒λ1=16,λ2=410 - \lambda = \pm 6 \Rightarrow \lambda_1 = 16, \lambda_2 = 4
Denklemin kökleri temel bileşen varyanslarıdır.
3
Birinci temel bileşen için en büyük özdeğeri seçiniz.
Var(Y1)=λ1=16Var(Y_1) = \lambda_1 = 16
TBA'da birinci temel bileşen daima en büyük varyansa (özdeğere) sahip olan kombinasyondur.

Key Concept

Temel bileşenlerin varyansları, kullanılan matrisin (kovaryans veya korelasyon) özdeğerlerine eşittir.

Practice More

İkinci temel bileşenin katsayıları arasındaki ilişkiyi ve katsayıların işaretlerini inceleyerek diklik (ortogonallik) özelliğini doğrulayınız.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Temel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar