X ve Y, ortalamaları sıfır olan iki rastgele değişken vektörüdür. Bu veri setleri üzerinde… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ , ortalamaları sıfır olan iki rastgele değişken vektörüdür. Bu veri setleri üzerinde yapılan kanonik korelasyon analizi sonucunda, ilk iki kanonik değişken çifti sırasıyla $(U_1, V_1)$ ve $(U_2, V_2)$ olarak elde edilmiştir. Analiz varsayımı gereği kanonik değişkenlerin varyanslarının standartlaştırılarak $1$ yapıldığı ( $Var(U_i)=Var(V_i)=1$ ) bilinmektedir.

Elde edilen ilk iki kanonik korelasyon katsayısı $\rho_1 = 0,75$ ve $\rho_2 = 0,50$ olarak hesaplanmıştır.

Bir araştırmacı, bu kanonik değişkenlerin doğrusal birleşimini kullanarak aşağıdaki gibi iki yeni kompozit değişken (

K

L

) oluşturmuştur:

K = 4U_1 + 3U_2

L = 8V_1 - 6V_2

Buna göre, $K$ ve $L$ kompozit değişkenleri arasındaki Pearson korelasyon katsayısı ( $r_{KL}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

A
0,15
B
0,27
0,30Answer
D
0,45
E
0,66

Answer

0,30

K

L

değişkenlerinin korelasyonu hesaplanırken, öncelikle varyansları bulunmalıdır.

Var(K) = 4^2 + 3^2 = 25

(standart sapması

5

) ve

Var(L) = 8^2 + (-6)^2 = 100

(standart sapması

10

) olarak hesaplanır. İki setin kovaryansı için ortogonallik kuralı devreye girer; çapraz setlerde sadece aynı sıradaki kanonik değişkenlerin kovaryansı sıfırdan farklıdır.

Cov(K, L) = 4 \times 8 \times Cov(U_1, V_1) + 3 \times (-6) \times Cov(U_2, V_2)

şeklinde yazılır. Değerler yerine konduğunda

32(0,75) - 18(0,50) = 24 - 9 = 15

kovaryans değerine ulaşılır. Korelasyon ise

15 / 50 = 0,30

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

Kanonik değişkenlerin varyans ve kovaryans özelliklerini belirleme.

Var(U_i) = Var(V_i) = 1

. Aynı set içindeki değişkenler diktir:

Cov(U_1, U_2) = 0

Cov(V_1, V_2) = 0

. Çapraz setlerde sadece aynı indisli olanlar ilişkilidir:

Cov(U_1, V_1) = 0,75

Cov(U_2, V_2) = 0,50

. Çapraz indeksli kovaryanslar sıfırdır:

Cov(U_1, V_2) = Cov(U_2, V_1) = 0

Kanonik korelasyon analizinin temel teorisi gereği kanonik boyutlar birbirinden bağımsızdır (ortogonaldir).

K

L

değişkenlerinin varyanslarını ve standart sapmalarını hesaplama.

Var(K) = 4^2(1) + 3^2(1) = 16 + 9 = 25 \Rightarrow \sigma_K = 5

Var(L) = 8^2(1) + (-6)^2(1) = 64 + 36 = 100 \Rightarrow \sigma_L = 10

Birbirinden bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun varyansı, ağırlıkların kareleri toplamına eşittir.

K

L

değişkenleri arasındaki kovaryansı hesaplama.

Cov(K, L) = Cov(4U_1 + 3U_2, 8V_1 - 6V_2)

= 32 Cov(U_1, V_1) - 24 Cov(U_1, V_2) + 24 Cov(U_2, V_1) - 18 Cov(U_2, V_2)

= 32(0,75) - 0 + 0 - 18(0,50)

= 24 - 9 = 15

İki kompozit değişkenin ortak değişimi (kovaryansı), kendilerini oluşturan temel bileşenlerin kovaryanslarının doğrusal kombinasyonudur.

Pearson korelasyon katsayısını hesaplama.

r_{KL} = \frac{Cov(K, L)}{\sigma_K \times \sigma_L} = \frac{15}{5 \times 10} = \frac{15}{50} = 0,30

Korelasyon, kovaryansın ilgili değişkenlerin standart sapmalarının çarpımına oranlanması ile elde edilir.

Key Concept

Kanonik Değişkenlerin Ortogonalliği ve Doğrusal Kombinasyonların Varyansı

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic