Examkin

Question

Difficulty: MediumKoşullu Beklenen Değer ve Koşullu Varyans

XX ve YY rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y)={8xy,0<x<y<10,dig˘er durumlardaf(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, Y=12Y = \frac{1}{2} verildiğinde XX'in koşullu beklenen değeri olan E[X∣Y=12]E\left[X \Big| Y = \frac{1}{2}\right] kaçtır?

  1. A
    19\frac{1}{9}
  2. B
    16\frac{1}{6}
  3. 13\frac{1}{3}Answer
  4. D
    49\frac{4}{9}
  5. E
    815\frac{8}{15}

Answer

Doğru değer 13\frac{1}{3} olarak bulunur.
Koşullu beklenen değer bulunurken, öncelikle Y'nin verilen değerdeki marjinal olasılık yoğunluğu (fY(1/2)=1/2f_Y(1/2) = 1/2) bulunur. Ardından f(x,1/2)f(x, 1/2) ortak olasılığı bu marjinal değere bölünerek koşullu olasılık fonksiyonu olan 8x8x elde edilir. Son olarak xx ile çarpılarak 00'dan 1/21/2'ye kadar integre edildiğinde sonuç 13\frac{1}{3} çıkar.

Step-by-Step Solution

1
YY'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu fY(y)f_Y(y) bulmak.
fY(y)=∫0y8xy dx=4y[x2]0y=4y3f_Y(y) = \int_{0}^{y} 8xy \, dx = 4y \left[x^2\right]_0^y = 4y^3 (0<y<10 < y < 1 için).
Koşullu yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için Y'nin marjinal dağılımına ihtiyaç vardır.
2
Y=12Y = \frac{1}{2} için marjinal yoğunluk değerini hesaplamak.
fY(12)=4(12)3=4(18)=12f_Y\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 4 \left(\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{2}.
Koşullu olasılık formülünde paydayı belirlemek için bu marjinal değere ihtiyaç vardır.
3
XX'in Y=12Y = \frac{1}{2} verildiğindeki koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu fX∣Y(x∣12)f_{X|Y}\left(x \Big| \frac{1}{2}\right) bulmak.
fX∣Y(x∣12)=f(x,1/2)fY(1/2)=8x(1/2)1/2=8xf_{X|Y}\left(x \Big| \frac{1}{2}\right) = \frac{f(x, 1/2)}{f_Y(1/2)} = \frac{8x(1/2)}{1/2} = 8x (0<x<120 < x < \frac{1}{2} için).
Koşullu beklenen değeri hesaplamak için XX'in bu koşul altındaki dağılım kuralı ve yeni tanım aralığı bilinmelidir.
4
E[X∣Y=12]E\left[X \Big| Y = \frac{1}{2}\right] değerini integral yardımıyla hesaplamak.
E[X∣Y=12]=∫01/2x(8x) dx=∫01/28x2 dx=[8x33]01/2=8(1/8)3=13E\left[X \Big| Y = \frac{1}{2}\right] = \int_{0}^{1/2} x (8x) \, dx = \int_{0}^{1/2} 8x^2 \, dx = \left[ \frac{8x^3}{3} \right]_0^{1/2} = \frac{8(1/8)}{3} = \frac{1}{3}.
Koşullu beklenen değer, değişkenin kendisi (xx) ile koşullu yoğunluk fonksiyonunun koşul sınırları içinde integre edilmesiyle bulunur.

Key Concept

Koşullu Beklenen Değer ve Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Rate this question

Topics

Koşullu Beklenen Değer ve Koşullu Varyans