Bir araştırmada, birbirinden bağımsız olarak gözlemlenen X ve Y sürekli rastgele değişkenl… — KPSS İstatistik

Bir araştırmada, birbirinden bağımsız olarak gözlemlenen $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} 3x^2, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} 2y, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu iki değişkenin çarpımı olarak tanımlanan $U = X \cdot Y$ rastgele değişkeninin, $0 < u < 1$ aralığındaki olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

$6u(1 - u)$ Answer
B
$3u(1 - u^2)$
C
$-6u^2 \ln u$
D
$6u$
E
$6u^3$

Answer

Rastgele değişkenlerin çarpımının olasılık yoğunluk fonksiyonu

6u(1 - u)

şeklindedir.

Bağımsız rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinallerinin çarpımı olan

f(x,y) = 6x^2y

'dir.

U=XY

V=X

şeklindeki değişken dönüşümü ile,

X=V

Y=U/V

elde edilir. Bu dönüşümün Jakobiyen determinantının mutlak değeri

|J| = 1/v

olarak bulunur. Ortak dağılım formülünde yerine konulduğunda

f_{U,V}(u,v) = 6(v)^2(u/v)(1/v) = 6u

elde edilir. Son olarak

0 < y < 1

tanım aralığından dolayı

0 < u/v < 1 \implies u < v < 1

entegrasyon sınırları belirlenir.

f_{U,V}(u,v)

fonksiyonunun

v=u

'dan

v=1

'e kadar integrali alınarak marjinal yoğunluk fonksiyonu

6u(1 - u)

bulunur.

Step-by-Step Solution

X

Y

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirlemek.

f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = 6x^2y

(

0 < x < 1

0 < y < 1

)

Değişkenlerin birbirinden bağımsız olduğu belirtildiğinden, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu marjinallerin çarpımına eşittir.

U = X \cdot Y

için bir

V = X

yardımcı dönüşümü tanımlayarak ters fonksiyonları bulmak.

X = V

Y = \frac{U}{V}

Ortak yoğunluk fonksiyonunu

U

V

cinsinden yazabilmek için değişken değiştirme yöntemine ihtiyaç vardır.

Ters fonksiyonların kısmi türevlerini alarak Jakobiyen (

J

) determinantını hesaplamak.

J = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{v} & -\frac{u}{v^2} \end{pmatrix} = -\frac{1}{v} \implies |J| = \frac{1}{v}

Çok değişkenli dönüşümlerde alan/hacim değişimini düzeltmek için Jakobiyen'in mutlak değeri çarpan olarak formüle eklenmelidir.

U

V

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu oluşturmak.

f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}\left(v, \frac{u}{v}\right) \cdot |J| = 6v^2\left(\frac{u}{v}\right) \cdot \frac{1}{v} = 6u

Elde edilen ters dönüşümleri ortak fonksiyonda yerine yazıp

|J|

ile çarparak

(U, V)

ikilisinin dağılımı bulunur.

U

'nun marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için

V

'nin sınırlarını belirlemek ve integrali hesaplamak.

0 < y < 1 \implies 0 < \frac{u}{v} < 1 \implies u < v < 1

\int_{u}^{1} 6u \, dv = 6u(1 - u)

Marjinal fonksiyonu bulmak için

V

değişkeni üzerinden integral alınmalıdır;

Y

'nin üst sınır kısıtı

V

'nin entegrasyon alt sınırını belirler.

Key Concept

İki sürekli rastgele değişkenin çarpımının dağılımı ve Jakobiyen dönüşümü

Alternative Method

F_U(u) = P(U \leq u) = P(XY \leq u)

yöntemiyle dağılım fonksiyonu (CDF) üzerinden integral alınabilir.

0 < u < 1

için

xy = u

hiperbol eğrisinin altında kalan alan,

\int_{0}^{u} \int_{0}^{1} 6x^2y \, dy \, dx + \int_{u}^{1} \int_{0}^{u/x} 6x^2y \, dy \, dx

şeklinde çözülerek ve sonrasında

u

'ya göre türevi alınarak da aynı sonuca ulaşılır.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics