Examkin

Question

Difficulty: MediumPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n rastgele örneklemi, ortalaması μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan normal dağılımdan alınmıştır. μ\mu ve σ2\sigma^2 bilinmeyen parametrelerdir.

Aralık tahmini teorisinde, örneklem değerleri ve bilinmeyen parametre(ler)i içeren, ancak olasılık dağılımı bilinmeyen parametre(ler)e bağlı olmayan fonksiyonlara 'pivot (eksen) fonksiyonu' denir.

Buna göre, aşağıda verilen istatistiklerden hangisi μ\mu veya σ2\sigma^2 parametreleri için geçerli bir pivot fonksiyonu değildir?

(Burada Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasını, S2S^2 ise örneklem varyansını göstermektedir.)

  1. A
    n(Xˉ−μ)S\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{S}
  2. B
    (n−1)S2σ2\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}
  3. C
    ∑i=1n(Xi−μ)2σ2\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}
  4. n(Xˉ−μ)σ2\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}Answer
  5. E
    n(Xˉ−μ)σ\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma}

Answer

n(Xˉ−μ)σ2\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2} istatistiği geçerli bir pivot fonksiyonu değildir çünkü olasılık dağılımı halen bilinmeyen σ2\sigma^2 parametresine bağlıdır.
Doğru cevap olan istatistik n(Xˉ−μ)σ2\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}'dir. Bilindiği üzere, n(Xˉ−μ)σ\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma} ifadesi standart normal dağılıma (N(0,1)N(0,1)) sahiptir. Eğer bu ifadeyi tekrar σ\sigma'ya bölersek, varyansı 1/σ21/\sigma^2 olan yeni bir değişken elde ederiz. Yani bu istatistik N(0,1σ2)N(0, \frac{1}{\sigma^2}) dağılımına uyar. Olasılık dağılımı halen bilinmeyen σ2\sigma^2 parametresine bağlı olduğu için, bu ifade pivot (eksen) fonksiyonu tanımını sağlamaz ve güven aralığı eldesinde kullanılamaz.

Step-by-Step Solution

1
Pivot fonksiyonunun tanımını hatırla.
Dağılımı bilinmeyen kitle parametrelerine bağlı olmayan istatistikler pivot fonksiyondur.
Geçerli bir güven aralığı oluşturabilmek için hesaplanan olasılık sınırlarının parametreden bağımsız olması zorunludur.
2
Seçeneklerdeki istatistiklerin dağılımlarını belirle.
Xˉ\bar{X} ve S2S^2'nin örneklem dağılımlarından yola çıkarak Z, Student-t ve Ki-kare dönüşümleri incelenir.
Dağılımı standart (Z, t, Ki-kare) olanlar pivot fonksiyonu olma şartını sağlar.
3
Doğru seçenekteki istatistiğin parametreye bağlılık durumunu kontrol et.
n(Xˉ−μ)σ2\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2} istatistiğinin varyansı hesaplandığında 1/σ21/\sigma^2 bulunur. Dolayısıyla bu ifade N(0,1σ2)N(0, \frac{1}{\sigma^2}) dağılımına sahiptir.
Dağılım varyansı halen bilinmeyen σ2\sigma^2 parametresini içerdiği için bu ifade aralık tahmininde kullanılacak bir pivot fonksiyonu olamaz.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Dağılım Özelliği
Rate this question

Topics

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

More questions from this topic