Bir malzeme test laboratuvarında iki farklı alaşımın (Alaşım I ve Alaşım II) çekme mukavem… — KPSS İstatistik

Bir malzeme test laboratuvarında iki farklı alaşımın (Alaşım I ve Alaşım II) çekme mukavemetlerindeki değişkenlik karşılaştırılmak istenmektedir. Alaşım I'den rastgele seçilen $9$ adet numune ile Alaşım II'den rastgele seçilen $16$ adet numunenin çekme mukavemeti ölçülmüş ve örneklem varyansları sırasıyla $S_1^2$ ve $S_2^2$ olarak hesaplanmıştır.

Ölçüm sonuçlarının birbirinden bağımsız ve normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, kitle varyansları oranı $\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right)$ için %90 güven aralığını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 8, 15} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 15, 8}} \right]$
B
$\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} - t_{0.05; 23} \sqrt{\frac{S_1^2}{9} + \frac{S_2^2}{16}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} + t_{0.05; 23} \sqrt{\frac{S_1^2}{9} + \frac{S_2^2}{16}} \right]$
C
$\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 9, 16}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 16, 9} \right]$
D
$\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.10; 8, 15}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.10; 15, 8} \right]$
$\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 8, 15}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 15, 8} \right]$ Answer

Answer

Doğru seçenek, F dağılımı tablosundan 8 ve 15 serbestlik dereceleri ile %5 kuyruk olasılığı değerlerinin (F_0.05) doğru konumlarda ve formasyonda kullanıldığı ifadeyi gösteren seçenektir.

İki kitle varyansının oranı için güven aralığı, F dağılımı üzerinden türetilir. Örneklem hacimleri

n_1=9

n_2=16

olduğundan F dağılımının serbestlik dereceleri sırasıyla

8

15

'tir. %90 güven aralığı oluşturulurken her iki kuyruktan eşit risk bırakılır, bu yüzden anlamlılık düzeyinin yarısı olan

\alpha/2 = 0.05

kullanılır. Formülün cebirsel yapısı gereği nihai aralık

\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 8, 15}} , \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 15, 8} \right]

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

Örneklem büyüklüklerini kullanarak F dağılımı için gerekli serbestlik derecelerini ve anlamlılık düzeyini belirle.

v_1 = 9 - 1 = 8, v_2 = 16 - 1 = 15. %90 güven düzeyi için çift yönlü aralıkta kullanılması gereken anlamlılık düzeyi parçası \alpha/2 = 0.05 olarak bulunur.

Varyansların oranı için oluşturulacak pivot fonksiyon F dağılımına uyduğundan aralığın sınırları için F(0.05; 8, 15) ve F(0.05; 15, 8) değerleri gereklidir.

İki kitle varyansı oranı için teorik asimptotik çarpımsal güven aralığı formülünü kurgula.

Teorik güven aralığı: \left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; v_1, v_2}}, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{\alpha/2; v_2, v_1} \right]

Varyansların oranına dair eşitsizlik, asimetrik bir dağılım olan F dağılımının iki sınır değerini kullanarak elde edilir.

Serbestlik dereceleri ve anlamlılık düzeyini formülde yerine koyarak nihai aralığı elde et.

Alt sınır: \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 8, 15}}, Üst sınır: \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 15, 8}

Serbestlik derecelerinin doğru tablo konumlarında (alt sınırda bölen, üst sınırda çarpan ve ters serbestlik dereceleriyle) yazılması aralığı tamamlar.

Key Concept

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic