Bir ekolojist, belirli bir ormanlık alanda rastgele seçilen n farklı gözlem noktasında (n … — KPSS İstatistik

Bir ekolojist, belirli bir ormanlık alanda rastgele seçilen $n$ farklı gözlem noktasında ( $n > 1$ ) bulunan belirli bir bitki türünün yoğunluğunu ölçmektedir. Yoğunluk ölçümlerinin $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız rastgele değişkenleri olduğu ve her birinin $(0, \theta)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Ekolojist, bilinmeyen $\theta$ parametresini tahmin etmek için başlangıçta yansız bir tahmin edici olan $T = 2X_1$ istatistiğini kullanmayı önermiştir. Ancak, istatistiksel açıdan daha etkin bir tahmin edici elde etmek için $\theta$ parametresi için yeterli istatistik olan $Y = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ değerini dikkate alarak Rao-Blackwell teoremini uygulamaya karar verir.

Buna göre, Rao-Blackwellizasyon işlemi sonucunda elde edilecek yeni tahmin edici ( $T^*$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{n}{n+1} Y$
B
$Y$
$\frac{n+1}{n} Y$ Answer
D
$2 Y$
E
$\frac{n+1}{2n} Y$

Answer

Rao-Blackwellizasyon işlemi sonucu elde edilen yeni yansız tahmin edici

\frac{n+1}{n} Y

formülü ile ifade edilir.

Rao-Blackwell teoremine göre yeni tahmin edici, başlangıçtaki yansız tahmin edicinin (

2X_1

) yeterli istatistik (

Y

) üzerindeki koşullu beklenen değeridir. Örneklemdeki tüm gözlemlerin simetrik yapısından faydalanarak

E[X_1 | Y] = \frac{1}{n} E[\sum X_i | Y]

eşitliği kurulur.

Y

(en büyük değer) bilindiğinde, bu gözlemlerden bir tanesi

Y

'ye eşittir ve geriye kalan

(n-1)

tanesi

(0, Y)

aralığında düzgün dağılır. Dolayısıyla koşullu toplamın beklenen değeri

Y + (n-1)\frac{Y}{2} = Y\frac{n+1}{2}

olur. Simetriden dolayı

E[X_1 | Y] = \frac{n+1}{2n} Y

bulunur. Son olarak, baştaki

T=2X_1

ifadesinde yerine konulduğunda yeni tahmin edici

2 \times \frac{n+1}{2n} Y = \frac{n+1}{n} Y

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

Rao-Blackwell teoreminin koşullu beklenen değer kuralını uygulamak.

T^* = E[2X_1 | Y] = 2E[X_1 | Y]

şeklinde koşullu beklenen değer denklemini kurmak.

Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin yeterli istatistik bilindiğindeki koşullu beklenen değerinin daha iyi (veya eşit) bir yansız tahmin edici vereceğini belirtir.

Simetri prensibini kullanarak

E[X_1 | Y]

ifadesini toplam istatistik cinsinden yazmak.

E[X_1 | Y] = \frac{1}{n} E[\sum_{i=1}^n X_i | Y]

eşitliğini elde etmek.

Tüm

X_i

değişkenleri bağımsız ve aynı dağılımlı olduğundan, yeterli istatistik

Y

verildiğinde her bir gözlemin koşullu beklenen değeri birbirine eşittir.

Toplamın koşullu beklenen değerini hesaplamak.

E[\sum X_i | Y=y] = y + (n-1)\frac{y}{2} = y\frac{n+1}{2}

sonucunu bulmak.

Eğer en büyük değer

Y=y

ise, toplamın içinde bir adet

y

bulunur ve geriye kalan

(n-1)

adet değişken

(0, y)

aralığında düzgün dağılır (beklenen değerleri

y/2

olur).

E[X_1 | Y]

değerini hesaplamak ve

T^*

formülünde yerine koymak.

E[X_1 | Y] = \frac{1}{n} \left( Y \frac{n+1}{2} \right) = Y \frac{n+1}{2n}

ve böylece

T^* = 2 \left( Y \frac{n+1}{2n} \right) = \frac{n+1}{n} Y

elde etmek.

Başlangıç tahmin edicimiz

X_1

değil

2X_1

olduğu için bulduğumuz sonucu 2 ile çarpmalıyız.

Key Concept

Rao-Blackwell Teoremi ve Sıra İstatistikleri Üzerinden Koşullu Beklenen Değer

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic