Examkin

Question

Difficulty: HardTamsayılı Modellerde Grafik Çözüm Yöntemi

Bir mobilya atölyesi, masa (xx) ve sandalye (yy) üretiminden elde edeceği toplam kârı en çoklamak istemektedir. Üretim sürecindeki işçilik ve hammadde kısıtları göz önüne alınarak problemin matematiksel modeli şu şekilde oluşturulmuştur:

Amaç Fonksiyonu:
MaksZ=8x+5yMaks \quad Z = 8x + 5y
Kısıtlayıcı Fonksiyonlar:
x+y≤6x + y \leq 6
9x+5y≤459x + 5y \leq 45
x,y≥0 ve tamsayıx, y \geq 0 \text{ ve tamsayı}

Buna göre, problemin grafik yöntem kullanılarak çözülmesi durumunda bulunacak en uygun (optimum) ZZ değeri kaçtır?

  1. A
    39
  2. 40Answer
  3. C
    41,25
  4. D
    42
  5. E
    45

Answer

Problemin tamsayı kısıtları altındaki optimum çözümü (5,0)(5, 0) noktasında gerçekleşir ve elde edilecek maksimum ZZ değeri 4040'tır.
Doğrusal programlama gevşetmesinin optimum noktası (3,75;2,25)(3,75 ; 2,25) olup amaç fonksiyonu değeri 41,2541,25'tir. Ancak değişkenlerin tamsayı olması gerektiğinden, bu noktanın etrafındaki uygun tamsayı koordinatları incelenmelidir. Standart yuvarlama işlemi ile ulaşılan (4,2)(4, 2) noktası 9(4)+5(2)=46>459(4)+5(2)=46 > 45 olduğundan kısıtı ihlal eder ve uygun çözüm bölgesinde değildir. Bölge içindeki (3,3)(3, 3) noktası için Z=8(3)+5(3)=39Z = 8(3)+5(3)=39 bulunurken, uygun alanın sağ alt köşesindeki (5,0)(5, 0) noktasında kısıtlar sağlanır (5+0≤65+0 \leq 6 ve 9(5)+0≤459(5)+0 \leq 45) ve Z=8(5)+5(0)=40Z = 8(5)+5(0)=40 değeri elde edilir. Maksimum tamsayı değeri 4040'tır.

Step-by-Step Solution

1
Kısıt doğrularının kesişim noktasının (LP gevşetme optimumunun) bulunması
İki denklem (x+y=6x+y=6 ve 9x+5y=459x+5y=45) ortak çözülerek x=3,75x=3,75 ve y=2,25y=2,25 bulunur.
Grafik çözümünde amaç fonksiyonu doğrusunun en dışa itildiği köşe noktası belirlenir.
2
Bulunan kesirli noktanın tamsayıya yuvarlanarak uygunluğunun test edilmesi
En yakın tamsayı olan (4,2)(4, 2) noktası denendiğinde 9(4)+5(2)=46≤459(4) + 5(2) = 46 \leq 45 eşitsizliğini sağlamadığı, yani çözüm alanının dışında kaldığı görülür.
Tamsayılı programlamada en yakın tamsayıya yuvarlamak her zaman uygun ve optimum çözümü vermez.
3
Uygun çözüm alanındaki alternatif tamsayı noktalarının değerlendirilmesi
(3,3)(3, 3) noktası için Z=39Z=39, (4,1)(4, 1) noktası için Z=37Z=37 ve (5,0)(5, 0) noktası için Z=40Z=40 hesaplanır.
Amaç fonksiyonunu (Z=8x+5yZ=8x+5y) en çoklayan ve tüm kısıtları sağlayan en iyi tamsayı kombinasyonunun bulunması gerekir.

Key Concept

Tamsayılı Programlama Modellerinde Grafik Çözüm ve LP Gevşetmesi Optimizasyonu

Alternative Method

Grafik çizmek yerine, kısıtları sağlayan tüm makul tamsayı ikililerini (x, y) sınır koşullarına göre (örneğin x=0'dan 5'e kadar) tek tek deneyerek Z değerini hesaplamak (tam sayımlama yaklaşımı).
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Tamsayılı Modellerde Grafik Çözüm Yöntemi

More questions from this topic