X ve Y bağımsız sürekli rastgele değişkenlerdir. X değişkeni (0, 1) aralığında düzgün (uni… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ bağımsız sürekli rastgele değişkenlerdir. $X$ değişkeni $(0, 1)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahipken ( $f_X(x)=1$ ), $Y$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y) = 2y, 0 < y < 1$ olarak verilmiştir. Buna göre, $Z = XY$ çarpım değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Z(z)$ aşağıdakilerden hangisidir?

2(1-z), \quad 0 < z < 1Answer
B
-2z \ln z, \quad 0 < z < 1
C
2z(1-z), \quad 0 < z < 1
D
2z, \quad 0 < z < 1
E
-\ln z, \quad 0 < z < 1

Answer

Çarpım değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Z(z) = 2(1-z), 0 < z < 1

şeklindedir.

Verilen yoğunluk fonksiyonları ve bağımsızlık varsayımı altında,

Z=XY

dönüşümü yapıldığında Jakobiyen çarpanı

1/v

olur. Ortak yoğunluk

2z/v^2

ifadesinin

v

değişkeninin tanım aralığı olan

[z, 1]

üzerinde integrali alındığında

2(1-z)

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirle.

f(x, y) = f_X(x) f_Y(y) = 1 \times 2y = 2y, \quad 0 < x, y < 1

Değişkenler bağımsız olduğu için ortak yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunlukların çarpımına eşittir.

Değişken dönüşümü ve Jakobiyen hesapla.

Z = XY

V = X

olsun. Buradan

X = V

Y = Z/V

elde edilir. Jakobiyen:

|J| = |\frac{\partial(x, y)}{\partial(z, v)}| = |\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/v & -z/v^2 \end{pmatrix}| = 1/v

Çarpım dağılımını bulmak için iki değişkenli dönüşüm yöntemi kullanılır.

Z

V

değişkenlerinin ortak yoğunluk fonksiyonunu yaz.

f(z, v) = f_X(v) f_Y(z/v) |J| = 1 \times 2(z/v) \times (1/v) = 2z/v^2

Dönüşüm formülü gereği orijinal fonksiyon yeni değişkenler cinsinden yazılır ve Jakobiyen ile çarpılır.

Sınırları belirle ve marjinal yoğunluğu bulmak için integral al.

0 < z/v < 1 \implies v > z

olduğu için

f_Z(z) = \int_z^1 \frac{2z}{v^2} dv = 2z [-\frac{1}{v}]_z^1 = 2z(-1 + \frac{1}{z}) = 2(1-z)

Yardımcı değişken üzerinden uygun sınırlar dahilinde integral alınarak hedef değişkenin marjinal dağılımına ulaşılır.

Key Concept

İki sürekli rastgele değişkenin çarpımının dağılımı Jakobiyen yöntemiyle bulunur.

Practice More

Benzer bir işlemi oran değişkeni (

U = X/Y

) için yaparak bölme işlemlerindeki Jakobiyen farkını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics