Bir araştırmacı, 3 sürekli değişkenden (X_1, X_2, X_3) oluşan bir veri seti üzerinde, örne… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, 3 sürekli değişkenden ( $X_1, X_2, X_3$ ) oluşan bir veri seti üzerinde, örneklem kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır.

Analiz sonucunda elde edilen bazı bilgiler şunlardır:
- Örneklem kovaryans matrisinin izi (trace) $50$ 'dir.
- Birinci temel bileşen $Y_1 = 0{}6X_1 + 0{}8X_2 + aX_3$ şeklinde elde edilmiştir.
- İkinci ve üçüncü temel bileşenlerin açıkladıkları varyanslar sırasıyla $\lambda_2 = 12$ ve $\lambda_3 = 6$ 'dır.

Araştırmacı, ilk iki temel bileşeni kullanarak $Z = \frac{1}{2}Y_1 + 2Y_2$ biçiminde yeni bir doğrusal kombinasyon (kompozit indeks) tanımlamıştır.

Temel bileşenlerin kuramsal özelliklerine göre, $a$ katsayısının değeri ve $Z$ indeksinin varyansı ( $Var(Z)$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A
$a = -0{}4$ ve $Var(Z) = 40$
B
$a = 0$ ve $Var(Z) = 40$
$a = 0$ ve $Var(Z) = 56$ Answer
D
$a = -0{}4$ ve $Var(Z) = 56$
E
$a = 0$ ve $Var(Z) = 131$

Answer

Doğru yanıt, özvektör katsayılarının kareleri toplamının 1 olmasına dayanarak

a = 0

değerini ve dik (ortogonal) bileşenlerin doğrusal kombinasyonunun varyans formülünden

Var(Z) = 56

değerini veren seçenektir.

Sorunun çözümü iki temel kurama dayanmaktadır. İlk olarak, TBA'da temel bileşenleri oluşturan katsayı matrisi (özvektörler) normalize edilmiştir, yani katsayıların kareleri toplamı 1'dir:

0{}6^2 + 0{}8^2 + a^2 = 1

eşitliğinden

a=0

bulunur. İkinci olarak, sistemin toplam varyansı kovaryans matrisinin izine (

50

) eşittir. Bu değer özdeğerlerin toplamıdır:

\lambda_1 + 12 + 6 = 50

, buradan

Var(Y_1) = \lambda_1 = 32

elde edilir. Son olarak, bileşenler birbirine dik (aralarındaki korelasyon sıfır) olduğundan,

Z = 0{}5 Y_1 + 2 Y_2

bileşeninin varyansı

Var(Z) = 0{}5^2 \times 32 + 2^2 \times 12 = 8 + 48 = 56

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Birinci temel bileşene ait özvektördeki

a

katsayısını hesaplama.

0{}6^2 + 0{}8^2 + a^2 = 1 \implies 0{}36 + 0{}64 + a^2 = 1 \implies 1 + a^2 = 1 \implies a = 0

Temel Bileşenler Analizinde, her bir temel bileşeni oluşturan özvektörün katsayılarının kareleri toplamı (vektörün normu) 1'e eşit olmak zorundadır.

Birinci temel bileşenin varyansını (

\lambda_1

) hesaplama.

İz =

\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 \implies 50 = \lambda_1 + 12 + 6 \implies \lambda_1 = 32

Kovaryans matrisinin izi (köşegen elemanların toplamı), sistemdeki toplam varyansı verir ve bu aynı zamanda özdeğerlerin (temel bileşen varyanslarının) toplamına eşittir.

Yeni doğrusal kombinasyon

Z

'nin varyansını hesaplama.

Var(Z) = (\frac{1}{2})^2 Var(Y_1) + 2^2 Var(Y_2) = 0{}25(32) + 4(12) = 8 + 48 = 56

Temel bileşenler birbirine dik (ortogonal) olduğu için aralarındaki kovaryans sıfırdır. Bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun varyansı alınırken katsayıların karesi alınarak toplanır.

Key Concept

Temel Bileşen Özvektörlerinin Normalizasyonu ve Doğrusal Kombinasyonların Varyansı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics