Examkin

Question

Difficulty: HardNokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

İstatistiksel çıkarım teorisinde, bir kitle parametresinin nokta tahmini sürecinde kullanılan T(X1,X2,…,Xn)T(X_1, X_2, \dots, X_n) fonksiyonunun bir "istatistik" olması temel şarttır. Bir rastgele değişkenin istatistik sayılabilmesi için örneklem değerleri dışında hiçbir bilinmeyen kitle parametresine bağlı olmaması gerekir.

Bir araştırmacı, ortalaması μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan (her iki parametre de bilinmemektedir) bir normal dağılımdan nn hacimli bir rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) çekmiş ve parametre tahmini üzerine çalışırken aşağıdaki dört farklı rastgele değişkeni tanımlamıştır:

I. T1=Xˉ=1n∑i=1nXiT_1 = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i
II. T2=1n∑i=1n(Xi−μ)2T_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2
III. T3=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2T_3 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
IV. T4=n(Xˉ−μ)σT_4 = \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma}

Bu değişkenlerin kavramsal nitelikleri ve istatistiksel özellikleri göz önüne alındığında, aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi teorik olarak kesinlikle doğrudur?

  1. T1T_1 ve T3T_3 fonksiyonları bilinmeyen parametre içermedikleri için birer istatistiktir ve sırasıyla μ\mu ile σ2\sigma^2 parametreleri için nokta tahmin edici olabilirler; ancak T2T_2 ve T4T_4 bilinmeyen parametreler içerdiğinden nokta tahmin edici olamazlar.Answer
  2. B
    T2T_2 fonksiyonu σ2\sigma^2 için yansız bir tahmin edicidir ve büyük örneklem hacimlerinde asimptotik yansızlık sağladığı için aynı zamanda tutarlı bir tahmin edici özelliği taşır.
  3. C
    T1T_1 fonksiyonu μ\mu parametresi için yansız bir nokta tahmin edicisidir ve bu tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE), her zaman kendi varyansından daha büyüktür.
  4. D
    T3T_3 fonksiyonu σ2\sigma^2 için yansız bir tahmin edici olup, yalnızca yeterli istatistiklerin bir fonksiyonu olmasından dolayı doğrudan Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) kabul edilir.
  5. E
    T4T_4 fonksiyonu μ\mu ve σ\sigma parametrelerini içermesine rağmen, dağılımı parametrelerden bağımsız olduğu için μ\mu'nün nokta tahmini sürecinde kullanılabilecek geçerli bir istatistiktir.

Answer

Doğru değerlendirme, yalnızca örneklem değerlerine bağlı olan fonksiyonların istatistik (ve nokta tahmin edici) olabileceğini, bilinmeyen parametre içeren fonksiyonların ise tahmin edici olamayacağını belirten ifadedir.
İstatistiksel çıkarımın temel kuralı uyarınca, bir örneklem fonksiyonunun (rastgele değişkenin) "istatistik" ve dolayısıyla "nokta tahmin edici" olabilmesi için kitleye ait hiçbir bilinmeyen parametreyi barındırmaması gerekir. Soruda μ\mu ve σ2\sigma^2'nin bilinmediği açıkça verilmiştir. Bu nedenle μ\mu içeren T2T_2 ve hem μ\mu hem σ\sigma içeren T4T_4 fonksiyonları örneklemden hesaplanamazlar ve tahmin edici olamazlar. Sadece örneklem verisiyle hesaplanabilen T1T_1 (örneklem ortalaması) ve T3T_3 (örneklem varyansı) birer istatistiktir ve tahminde kullanılabilir.

Step-by-Step Solution

1
Soruda verilen kitle parametrelerinin durumunu analiz etme.
Normal dağılıma ait μ\mu ve σ2\sigma^2 parametrelerinin her ikisinin de bilinmediği tespit edilir.
Bir fonksiyonun istatistik sayılabilmesi, mevcut bilinmeyen parametrelere bağlı olup olmadığına göre belirlenir.
2
Verilen I. (T1T_1) ve III. (T3T_3) fonksiyonların yapısını inceleme.
T1=XˉT_1 = \bar{X} ve T3=S2T_3 = S^2 fonksiyonlarının yalnızca XiX_i örneklem değerlerinden oluştuğu ve μ\mu veya σ\sigma içermediği görülür.
Bilinmeyen parametre içermeyen fonksiyonlar birer istatistiktir ve nokta tahmin edici olarak kullanılabilirler.
3
Verilen II. (T2T_2) ve IV. (T4T_4) fonksiyonların yapısını inceleme.
T2T_2'nin bilinmeyen μ\mu'yü, T4T_4'ün ise hem μ\mu hem de σ\sigma'yı içerdiği görülür.
Bilinmeyen parametre içeren rastgele değişkenler sadece örneklemden hareketle hesaplanamazlar, dolayısıyla istatistik veya tahmin edici olamazlar.
4
Seçeneklerdeki diğer teorik iddiaları Lehmann-Scheffe, yansızlık ve MSE kavramlarıyla test etme.
MSE'nin varyanstan büyük olduğu, yansızlığın tutarlılığı garanti ettiği ve tamlık ispatlanmadan UMVUE olunabileceği iddialarının tümünün teorik olarak hatalı olduğu kanıtlanır.
Nokta tahmin edicilerin özellikleri (MSE = Varyans + Yan^2) ve temel teoremlerin katı şartları gereğince bu genellemeler yanlıştır.

Key Concept

İstatistik ve Nokta Tahmin Edici Kavramı
Rate this question

Topics

Nokta Tahmin Edici Kavramı ve İstatistik

More questions from this topic