Examkin

Question

Difficulty: MediumDoğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda aynı anda en fazla 3 araç bulunabilmektedir (1 araç şarj ünitesinde, en fazla 2 araç bekleme sırasında). Sisteme araç varış hızı ve sistemin şarj (hizmet) hızı, istasyondaki araç sayısına (nn) bağlı olarak değişen bir doğum-ölüm süreci ile modellenmiştir.

İstasyondaki araç sayısına göre varış hızları (λn\lambda_n) ve hizmet hızları (μn\mu_n) saatlik olarak aşağıdaki gibidir:
- λ0=6\lambda_0 = 6, λ1=4\lambda_1 = 4, λ2=2\lambda_2 = 2 ve n≥3n \ge 3 için λn=0\lambda_n = 0
- μ1=2\mu_1 = 2, μ2=4\mu_2 = 4, μ3=4\mu_3 = 4

Buna göre, sistemin denge (steady-state) durumunda tamamen dolu olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    111\frac{1}{11}
  2. B
    217\frac{2}{17}
  3. C
    15\frac{1}{5}
  4. 317\frac{3}{17}Answer
  5. E
    617\frac{6}{17}

Answer

Sistemin tamamen dolu olma olasılığı 317\frac{3}{17}'dir.
Denge durumunda doğum-ölüm süreci ardışık oranlar kuralına uyar. P1=3P0P_1 = 3P_0, P2=3P0P_2 = 3P_0 ve P3=1.5P0P_3 = 1.5P_0 olarak bulunur. Tüm bu katsayıları P0P_0 (1 katsayısı) ile topladığımızda sistemin toplam olasılık çarpanı 8.5 (veya 172\frac{17}{2}) olur. Buradan P0=217P_0 = \frac{2}{17} elde edilir. Bize sistemin tamamen dolu olduğu n=3n=3 durumu sorulduğundan, P3=1.5×217=317P_3 = 1.5 \times \frac{2}{17} = \frac{3}{17} doğru sonuçtur.

Step-by-Step Solution

1
Doğum-ölüm süreci denge denklemlerini kullanarak her durumun olasılığını (PnP_n) P0P_0 cinsinden ifade edin.
P1=λ0μ1P0=62P0=3P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}P_0 = \frac{6}{2}P_0 = 3P_0
P2=λ1μ2P1=44(3P0)=3P0P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2}P_1 = \frac{4}{4}(3P_0) = 3P_0
P3=λ2μ3P2=24(3P0)=1.5P0=32P0P_3 = \frac{\lambda_2}{\mu_3}P_2 = \frac{2}{4}(3P_0) = 1.5P_0 = \frac{3}{2}P_0
Denge (steady-state) koşullarında bir duruma giriş hızı, o durumdan çıkış hızına eşittir ve Pn=Pn−1λn−1μnP_n = P_{n-1} \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} bağıntısı geçerlidir.
2
Sistemdeki tüm olasılıkların toplamını 1'e eşitleyerek P0P_0 değerini hesaplayın.
P0+P1+P2+P3=1P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1
P0+3P0+3P0+1.5P0=1P_0 + 3P_0 + 3P_0 + 1.5P_0 = 1
8.5P0=1  ⟹  172P0=1  ⟹  P0=2178.5P_0 = 1 \implies \frac{17}{2}P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{2}{17}
Bir olasılık dağılımında tüm olası durumların olasılıkları toplamı daima 1 olmak zorundadır.
3
Sistemin tamamen dolu olması durumu olan P3P_3 olasılığını bulun.
P3=32P0=32×217=317P_3 = \frac{3}{2}P_0 = \frac{3}{2} \times \frac{2}{17} = \frac{3}{17}
Sistem en fazla 3 araç alabildiği için, tamamen dolu olma durumu sistemde tam olarak 3 aracın bulunmasıdır (n=3n=3).

Key Concept

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Denge (Steady-State) Denklemleri ve Olasılık Hesaplamaları
Rate this question

Topics

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

More questions from this topic