Examkin

Question

Difficulty: MediumRao-Blackwell Teoremi

Bir kamu kurumuna gelen günlük dilekçe sayısı λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uygun bir rastgele değişkendir. Bu kurumda nn günlük bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) toplanmıştır. Parametrenin g(λ)=e−λg(\lambda) = e^{-\lambda} (belirli bir günde hiç dilekçe gelmeme olasılığı) fonksiyonu için TT başlangıç tahmin edicisi ve SS yeterli istatistiği aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

T={1,X1=00,X1>0T = \begin{cases} 1, & X_1 = 0 \\ 0, & X_1 > 0 \end{cases}
S=∑i=1nXiS = \sum_{i=1}^n X_i

Buna göre, Rao-Blackwell teoremi kullanılarak elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (1−1n)S(1 - \frac{1}{n})^SAnswer
  2. B
    e−S/ne^{-S/n}
  3. C
    (n−1n)n(\frac{n-1}{n})^n
  4. D
    1−Sn1 - \frac{S}{n}
  5. E
    (1n)S(\frac{1}{n})^S

Answer

Rao-Blackwell teoremi uyarınca elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici (1−1/n)S(1 - 1/n)^S ifadesidir.
Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin (TT), yeterli bir istatistik (SS) üzerine koşullandırılmasıyla varyansı daha düşük veya eşit olan yeni bir yansız tahmin edici elde edileceğini belirtir. Poisson dağılımı için X1X_1 gözleminin 00 olma durumunun, toplam SS üzerindeki koşullu olasılığı P(X1=0∣S=s)=(1−1/n)sP(X_1=0 | S=s) = (1-1/n)^s olarak hesaplanır. Bu tahmin edici aynı zamanda UMVUE (En iyi yansız tahmin edici) özelliğine sahiptir.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıç tahmin edicisinin yansızlığını kontrol etme
E[T]=P(X1=0)=λ0e−λ0!=e−λE[T] = P(X_1 = 0) = \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!} = e^{-\lambda}
TT gösterge değişkeni olduğu için beklenen değeri, ilgili olayın gerçekleşme olasılığına eşittir.
2
Rao-Blackwell tahmin edicisini (T∗T^*) kurma
T∗=E[T∣S]=P(X1=0∣∑i=1nXi=s)T^* = E[T|S] = P(X_1 = 0 | \sum_{i=1}^n X_i = s)
Teorem gereği, yansız bir tahmin edicinin yeterli istatistik üzerindeki koşullu beklentisi daha küçük varyanslı bir yansız tahmin edici verir.
3
Koşullu olasılığı hesaplama
P(X1=0∣S=s)=P(X1=0)⋅P(∑i=2nXi=s)P(∑i=1nXi=s)P(X_1=0 | S=s) = \frac{P(X_1=0) \cdot P(\sum_{i=2}^n X_i = s)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = s)}
Bağımsız Poisson değişkenlerinin toplamı da Poisson dağılımına uyar (∑i=2nXi∼Poisson((n−1)λ)\sum_{i=2}^n X_i \sim \text{Poisson}((n-1)\lambda)).
4
İfadeyi sadeleştirme
e−λ⋅[(n−1)λ]se−(n−1)λs!(nλ)se−nλs!=(n−1)sns=(1−1n)s\frac{e^{-\lambda} \cdot \frac{[(n-1)\lambda]^s e^{-(n-1)\lambda}}{s!}}{\frac{(n\lambda)^s e^{-n\lambda}}{s!}} = \frac{(n-1)^s}{n^s} = (1 - \frac{1}{n})^s
Pay ve paydadaki faktöriyeller ve üstel terimler sadeleştiğinde geriye kalan oran sonucudur.

Key Concept

Rao-Blackwell Teoremi ve Koşullu Beklenti

Hints

1
Rao-Blackwell tahmin edicisini bulmak için E[T∣S]E[T|S] değerini hesaplamanız gerekir.
2
P(X1=0∣∑Xi=s)P(X_1=0 | \sum X_i = s) olasılığını hesaplarken paydada ∑Xi∼Poisson(nλ)\sum X_i \sim \text{Poisson}(n\lambda) dağılımını kullanın.

Practice More

Aynı dağılım için λ2\lambda^2 parametresinin UMVUE tahmin edicisini türetmeyi deneyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Rao-Blackwell Teoremi

More questions from this topic