Bir kamu hizmet biriminde vatandaşların başvuru sonuçlanma süresi X (dakika), \theta > 0 o… — KPSS İstatistik

Bir kamu hizmet biriminde vatandaşların başvuru sonuçlanma süresi

X

(dakika),

\theta > 0

olmak üzere

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0

olasılık yoğunluk fonksiyonu ile verilen üstel dağılıma uygundur. Bu kütleden alınan

n

birimlik rastgele bir örneklem için

\theta^2

parametresinin herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için belirlenecek olan Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

Cramer-Rao alt sınırı

\frac{4\theta^4}{n}

olarak bulunur.

Doğru seçenek olan

\frac{4\theta^4}{n}

ifadesi, verilen üstel dağılımın Fisher bilgisinin

1/\theta^2

olması ve tahmin edilmek istenen

\theta^2

parametresinin türevinin karesinin

4\theta^2

olması neticesinde, bu değerlerin Cramer-Rao formülüne doğru bir şekilde yerleştirilmesiyle elde edilmiştir.

Fisher Bilgisinin (

I(\theta)

) hesaplanması.

I(\theta) = \frac{1}{\theta^2}

Üstel dağılım için log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin negatifi Fisher bilgisini verir.

Tahmin edilen fonksiyonun (

\tau(\theta) = \theta^2

) türevinin hesaplanması.

\tau'(\theta) = 2\theta

Cramer-Rao formülünde pay kısmında tahmin edilen fonksiyonun türevinin karesi yer alır.

Cramer-Rao alt sınırı formülünün uygulanması.

CRAS = \frac{[\tau'(\theta)]^2}{n I(\theta)} = \frac{(2\theta)^2}{n \cdot (1/\theta^2)} = \frac{4\theta^2}{n/\theta^2} = \frac{4\theta^4}{n}

Belirlenen değerler formülde yerine konularak varyans için teorik alt sınır elde edilir.

Cramer-Rao Alt Sınırı, bir yansız tahmin edicinin varyansının alabileceği en küçük değeri belirleyen teorik bir sınırdır.

Question