Examkin

Question

Difficulty: HardOlasılık Fonksiyonu ve Aksiyomları

Bir e-devlet portalının kullanımına ilişkin yapılan geniş çaplı bir araştırmada, kullanıcıların sisteme yönelik memnuniyetleri üç farklı boyutta incelenmiştir: Güvenilirlik (GG), Hız (HH) ve Kullanım Kolaylığı (KK).

Araştırma sonuçlarına göre, sisteme giriş yapan kullanıcıların;
- %80'inin portalı güvenilir bulduğu,
- %75'inin portalın hızından memnun olduğu,
- %90'ının ise portalı kullanım açısından kolay bulduğu tespit edilmiştir.

Olasılık aksiyomları dikkate alındığında, rastgele seçilen bir kullanıcının portalı her üç boyutta da olumlu değerlendirmiş olma olasılığının yüzde cinsinden alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0
  2. 45Answer
  3. C
    54
  4. D
    55
  5. E
    75

Answer

Rastgele seçilen bir kullanıcının portalı her üç boyutta da olumlu değerlendirmiş olma olasılığının alabileceği en küçük değer 45'tir.
İstenen olay, rastgele seçilen bir kullanıcının her üç boyutta da olumlu değerlendirme yapmasıdır, yani P(G∩H∩K)P(G \cap H \cap K) olasılığının en küçük değerini bulmalıyız. De Morgan kuralları gereği, kesişimin olasılığı P(G∩H∩K)=1−P(Gc∪Hc∪Kc)P(G \cap H \cap K) = 1 - P(G^c \cup H^c \cup K^c) şeklinde yazılabilir. Kesişimin minimum olabilmesi için birleşimin maksimum olması gerekir. Olasılık aksiyomlarından Boole Eşitsizliğine (alt toplamsallık) göre, bir birleşimin olasılığı olayların kendi olasılıkları toplamından büyük olamaz. Tümleyen olasılıkların toplamı 0,20+0,25+0,10=0,550,20 + 0,25 + 0,10 = 0,55'tir. O halde istenmeyen durumların birleşiminin alabileceği en büyük değer 0,550,55'tir. Kesişimin alabileceği en küçük değer ise 1−0,55=0,451 - 0,55 = 0,45 (yani %45) olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Olayların tümleyen (olumsuz değerlendirme) olasılıklarını hesaplama.
P(Gc)=0,20P(G^c) = 0,20, P(Hc)=0,25P(H^c) = 0,25, P(Kc)=0,10P(K^c) = 0,10
Kesişimin minimum değerini bulmak için tümleyen olayların birleşiminden yararlanmak De Morgan kuralları gereği en etkili analitik yoldur.
2
Tümleyen olayların birleşiminin alabileceği en büyük değeri Boole eşitsizliği ile bulma.
P(Gc∪Hc∪Kc)≤0,20+0,25+0,10=0,55P(G^c \cup H^c \cup K^c) \le 0,20 + 0,25 + 0,10 = 0,55
Olasılık aksiyomlarına göre bir birleşimin olasılığı, olayların ayrı ayrı olasılıklarının toplamını hiçbir koşulda geçemez.
3
Bulunan maksimum birleşim değerini 1'den çıkararak kesişimin minimum olasılığını hesaplama.
P(G∩H∩K)≥1−0,55=0,45P(G \cap H \cap K) \ge 1 - 0,55 = 0,45 (Yani %45)
Tüm durumların olasılık toplamı 1'dir. İstenmeyen durumlar (tümleyenlerin birleşimi) ne kadar büyük olursa, istenen durumların (kesişimin) olasılığı o kadar küçük olur.

Key Concept

Olasılık Aksiyomları ve Boole Eşitsizliği (Fréchet Sınırları)

Alternative Method

Problemi Venn şeması mantığıyla en kötü senaryo (worst-case) düşüncesiyle çözmek de mümkündür. %100'lük bir küme üzerinde, boyutlardan memnun olmayan %20, %25 ve %10'luk kesimlerin birbirleriyle hiç kesişmediği (hiçbir kullanıcının birden fazla boyutta şikayetçi olmadığı) en dağınık durumu hayal edersek: Şikayetçi olan toplam kitle en fazla 20 + 25 + 10 = %55 olabilir. Geriye kalan kitle mecburen her üçünden de memnun olmalıdır: 100 - 55 = 45 sonucuna bu sezgisel mantıkla da ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Olasılık Fonksiyonu ve Aksiyomları

More questions from this topic