Bir (\Omega, \mathcal{F}, P) olasılık uzayında, (A_n)_{n=1}^{\infty} azalan bir olaylar di… — KPSS İstatistik

Bir $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ olasılık uzayında, $(A_n)_{n=1}^{\infty}$ azalan bir olaylar dizisini ( $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \dots$ ) göstermektedir.

Her $n \geq 1$ için, $A_n$ olayının olasılığı $P(A_n) = \frac{3n+2}{8n+1}$ olarak verilmiştir.

$B = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$ olmak üzere; $B$ olayı ile örnek uzaydaki başka bir $C$ olayı için aşağıdaki olasılıklar bilinmektedir:
- $P(B \cup C) = \frac{5}{6}$
- $P(B \cap C) = \frac{1}{8}$

Buna göre, $B$ olayının gerçekleşmediği bilindiğine göre $C$ olayının gerçekleşme olasılığı kaçtır?

A
$\frac{1}{3}$
B
$\frac{11}{24}$
C
$\frac{7}{12}$
$\frac{11}{15}$ Answer
E
$\frac{11}{14}$

Answer

İstenen olasılık değeri

\frac{11}{15}

'tir.

Soruda iki temel olasılık teorisi prensibi sınanmaktadır. İlk olarak, azalan bir dizinin sonsuz kesişiminin olasılığı, dizinin olasılıklarının limitine eşittir (Süreklilik aksiyomu). Buradan

P(B) = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+2}{8n+1} = \frac{3}{8}

bulunur. İkinci adımda, 'B'nin gerçekleşmediği bilindiğine göre C'nin gerçekleşme olasılığı' olan

P(C | B^c)

istenmektedir. Bunun için

P(C \cap B^c)

değeri,

P(B \cup C) = P(B) + P(C \cap B^c)

ayrık birleşim özelliği ile

\frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{11}{24}

olarak hesaplanır. Son olarak koşullu olasılık denkleminde bu değer

P(B^c) = \frac{5}{8}

ile oranlanır ve

\frac{11/24}{5/8} = \frac{11}{15}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Olasılığın süreklilik aksiyomunu kullanarak B olayının olasılığını hesaplamak

P(B) = \frac{3}{8}

A_n

azalan bir olaylar dizisi olduğundan,

B

kümesi bu dizinin sonsuz kesişimidir. Olasılık fonksiyonunun süreklilik aksiyomu gereği

P(B) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)

olur.

\lim_{n \to \infty} \frac{3n+2}{8n+1} = \frac{3}{8}

olarak bulunur.

Koşullu olasılık için pay kısmında gerekli olan kesişim (

C \cap B^c

) olasılığını bulmak

P(C \cap B^c) = \frac{11}{24}

Olasılık aksiyomlarından türetilen kümelerin ayrık birleşimi kuralı gereği

P(B \cup C) = P(B) + P(C \cap B^c)

formülü geçerlidir. Bu denklemde değerler yerine konduğunda

\frac{5}{6} = \frac{3}{8} + P(C \cap B^c) \implies P(C \cap B^c) = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}

elde edilir.

İstenen koşullu olasılık değerini (

P(C | B^c)

) hesaplamak

P(C | B^c) = \frac{11}{15}

Soruda '

B

olayının gerçekleşmediği bilindiğine göre' ifadesi yer aldığından koşullu olasılık tanımı uygulanır.

P(C | B^c) = \frac{P(C \cap B^c)}{P(B^c)}

formülü kullanılır. Paydaya gelecek olan değer

P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}

'dir. Sonuç:

\frac{11/24}{5/8} = \frac{11}{24} \cdot \frac{8}{5} = \frac{11}{15}

bulunur.

Key Concept

Olasılıkta süreklilik aksiyomu (limit kuralları), küme işlemleri (ayrık olaylar) ve koşullu olasılık formülünün sentezi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic