Examkin

Question

Difficulty: MediumPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bir malzeme test laboratuvarında, polimer liflerin kopma noktasına kadar olan uzama miktarları (XX), θ>0\theta > 0 bir ölçek parametresi olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

f(x;θ)=2xθ2,0<x<θf(x; \theta) = \frac{2x}{\theta^2}, \quad 0 < x < \theta

Bu kitle içinden nn hacimli bir rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) seçiliyor. Bu örnekleme dayalı olarak θ\theta parametresi için bir güven aralığı oluşturulmak istendiğinde, aşağıdakilerden hangisi geçerli bir pivot (eksen) fonksiyonudur?

  1. Q(X,θ)=X(n)θQ(X, \theta) = \frac{X_{(n)}}{\theta}Answer
  2. B
    Q(X,θ)=X(n)−θQ(X, \theta) = X_{(n)} - \theta
  3. C
    Q(X,θ)=∑i=1nXi−nθQ(X, \theta) = \sum_{i=1}^n X_i - n\theta
  4. D
    Q(X,θ)=Xˉ⋅θQ(X, \theta) = \bar{X} \cdot \theta
  5. E
    Q(X,θ)=S2+θQ(X, \theta) = S^2 + \theta

Answer

Maksimum örneklem değerinin parametreye oranı olan X(n)/θX_{(n)}/\theta ifadesi geçerli bir pivot fonksiyondur.
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunda θ\theta bir ölçek parametresidir. Q=X(n)/θQ = X_{(n)} / \theta şeklinde tanımlanan istatistiğin dağılım fonksiyonu FQ(q)=q2nF_Q(q) = q^{2n} olarak hesaplanır. Bu fonksiyonun tanım kümesi [0,1][0, 1] olup içerisinde θ\theta parametresi barındırmaz. Dolayısıyla dağılım parametreden bağımsızdır ve geçerli bir pivot fonksiyondur.

Step-by-Step Solution

1
Pivot fonksiyon tanımını hatırla
Dağılımı bilinmeyen parametreye (θ\theta) bağlı olmayan fonksiyona pivot fonksiyonu denir.
Bir fonksiyonun güven aralığı oluşturmada kullanılabilmesi için dağılımının parametreden bağımsız olması şarttır.
2
Değişken dönüşümü yap
Y=X/θY = X/\theta dönüşümü yapıldığında fY(y)=2y,0<y<1f_Y(y) = 2y, \quad 0 < y < 1 bulunur.
Ölçek parametresi durumunda örneklem değerlerinin parametreye oranı genellikle parametreden bağımsız bir dağılım verir.
3
Maksimum istatistiğin dağılımını kontrol et
Q=X(n)/θQ = X_{(n)}/\theta için FQ(q)=(q2)n=q2n,0<q<1F_Q(q) = (q^2)^n = q^{2n}, \quad 0 < q < 1 olur.
Dağılım fonksiyonunda θ\theta parametresi yer almadığı için bu ifade bir pivot fonksiyondur.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Practice More

Üstel dağılım veya düzgün dağılım için yeterli istatistikler üzerinden farklı pivot fonksiyonlarını inceleyin.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

More questions from this topic