Bir kamu kurumunun veri merkezinde çalışan X, Y ve Z sistemlerinin arıza durumları incelen… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunun veri merkezinde çalışan $X$ , $Y$ ve $Z$ sistemlerinin arıza durumları incelenmektedir. Her bir sistemin arıza yapma olasılığının sıfırdan büyük olduğu bilinmektedir. Kurumun istatistik birimi tarafından yapılan analiz sonucunda; bu üç sistemin arıza olaylarının ikişerli bağımsız (pairwise independent) olduğu, ancak karşılıklı bağımsız (mutually independent) olmadığı tespit edilmiştir. Öte yandan, sistemlerin işlemci sıcaklık değerlerini temsil eden $T_1$ ve $T_2$ sürekli rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans değerinin sıfır ( $Cov(T_1, T_2) = 0$ ) olduğu hesaplanmıştır.

Bu istatistiksel bulgulara göre, aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A
Sıcaklık değerlerini temsil eden $T_1$ ve $T_2$ değişkenlerinin kovaryansı sıfır olduğundan, bu değişkenler istatistiksel olarak birbirinden kesinlikle bağımsızdır.
B
$X$ ve $Y$ sistemlerinin arıza olayları ikişerli bağımsız olduğuna göre, bu iki olayın aynı anda gerçekleşmesi mümkün değildir; dolayısıyla bu olaylar ayrıktır.
C
$X$ , $Y$ ve $Z$ sistemlerinin arıza olaylarının gösterge değişkenleri (indicator variables) sırasıyla $I_X$ , $I_Y$ , $I_Z$ ise, bu üç sistemin birlikte arıza yapma durumunun beklenen değeri $E[I_X I_Y I_Z] = E[I_X]E[I_Y]E[I_Z]$ formülü ile hesaplanabilir.
Her bir sistemin arıza olasılığı sıfırdan büyük olduğu için, $X$ ve $Y$ olaylarının bağımsız olması, bu olayların ayrık (kesişimlerinin boş küme) olmasını imkânsız kılar.Answer
E
$X$ sisteminin arıza yaptığı bilindiğinde $Y$ sisteminin de arıza yapma olasılığı hesaplanırken, her iki sistemin ortak arıza yapma olasılığı, koşul olayı olan $X$ 'in olasılığı yerine $Y$ 'nin olasılığına bölünmelidir.

Answer

Her bir sistemin arıza olasılığı sıfırdan büyük olduğu için, X ve Y olaylarının bağımsız olması, bu olayların ayrık (kesişimlerinin boş küme) olmasını imkânsız kılar.

İstatistiksel bağımsızlık tanımına göre, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, tek tek gerçekleşme olasılıklarının çarpımına eşittir (

P(X \cap Y) = P(X)P(Y)

). Soruda sistemlerin arıza olasılıklarının sıfırdan büyük olduğu açıkça belirtilmiştir. İki pozitif olasılık değerinin çarpımı sıfırdan büyük bir sayı vereceğinden,

X

Y

'nin ortak kesişim olasılığı da sıfırdan büyüktür. Olayların ayrık (disjoint) olması için kesişimlerinin boş küme olması ve ortak gerçekleşme olasılıklarının sıfır olması gerekir. Bu nedenle, sıfırdan büyük olasılıklara sahip bağımsız olaylar uzayda hiçbir zaman ayrık olamazlar; mutlaka ortak bir kesişim alanına sahiptirler.

Step-by-Step Solution

Kovaryans ve bağımsızlık ilişkisinin değerlendirilmesi

Cov(T_1, T_2) = 0

olması değişkenlerin bağımsız olduğu anlamına gelmez, sadece aralarında doğrusal ilişki olmadığını gösterir.

Bağımsızlık kovaryansın sıfır olmasını gerektirir ancak tersi her zaman geçerli değildir (ortak normal dağılım istisnası hariç).

İkişerli bağımsızlık ile karşılıklı bağımsızlık farkının incelenmesi

Olaylar ikişerli bağımsız olup karşılıklı bağımsız olmadığından, üçlü kesişim olasılığı

P(X \cap Y \cap Z) \neq P(X)P(Y)P(Z)

şeklindedir.

Beklenen değer çarpımının (

E[I_X I_Y I_Z]

) marjinal beklenen değerlerin çarpımına eşit olması için olayların tüm kombinasyonlarda karşılıklı bağımsız olması gerekir.

Bağımsızlık ve ayrıklık (disjointness) ilişkisinin kurulması

X

Y

olayları ikişerli bağımsız şartını sağladığından

P(X \cap Y) = P(X)P(Y)

eşitliği geçerlidir.

Olaylar bağımsız ise ortak gerçekleşme olasılıkları, bireysel gerçekleşme olasılıklarının çarpımıdır.

Kesişim olasılığının analiz edilmesi ve nihai sonucun çıkarılması

Soruda

P(X) > 0

P(Y) > 0

verilmiştir. Buna göre

P(X \cap Y) > 0

olur. Bu durum, olayların kesişiminin boş küme olmadığını, dolayısıyla ayrık olamayacaklarını kesinleştirir.

Ayrık olayların kesişim olasılığı her zaman sıfır olmak zorundadır.

Key Concept

Bağımsızlık, İkişerli/Karşılıklı Bağımsızlık ve Ayrıklık (Disjointness) Kavramları

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic