X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir: f(… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x, y) = \begin{cases} x + y, & 0 \le x \le 1 \text{ ve } 0 \le y \le 1 \\\\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans, $Cov(X, Y)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$-\frac{1}{144}$ Answer
B
$0$
C
$\frac{1}{144}$
D
$\frac{1}{12}$
E
$\frac{1}{3}$

Answer

Doğru cevap

-\frac{1}{144}

olmalıdır.

Kovaryans hesaplaması

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

formülüne dayanır. İlgili entegraller hesaplandığında; ortak moment

E[XY] = \frac{1}{3}

, marjinal beklenen değerler olan

E[X]

E[Y]

ise

\frac{7}{12}

bulunur. Bu sonuçlar formülde yerine konulduğunda

\frac{48}{144} - \frac{49}{144}

işlemiyle

-\frac{1}{144}

doğru yanıtına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

X

Y

'nin ortak beklenen değeri olan

E[XY]

değerini hesaplayın.

E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 xy(x+y) dx dy = \int_0^1 \int_0^1 (x^2y + xy^2) dx dy = \int_0^1 (\frac{y}{3} + \frac{y^2}{2}) dy = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}

Kovaryans hesabı formülündeki eksilen terimi (ortak momenti) bulmak için tanımlı aralıkta çift katlı integral alınır.

X

değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_X(x)

'i bulun.

f_X(x) = \int_0^1 (x+y) dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{y=0}^{y=1} = x + \frac{1}{2}

X

'in beklenen değerini hesaplayabilmek için

Y

'ye göre integrasyon yaparak diğer değişkeni yok etmek gerekir.

E[X]

ve simetriden

E[Y]

marjinal beklenen değerlerini hesaplayın.

E[X] = \int_0^1 x(x+\frac{1}{2}) dx = \int_0^1 (x^2 + \frac{x}{2}) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}

f(x,y)

simetrik olduğundan

E[Y] = \frac{7}{12}

olur.

Kovaryans formülünde çıkan terim olan marjinal beklentilerin çarpımını elde etmek için gereklidir.

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

temel kovaryans formülünü uygulayın.

Cov(X,Y) = \frac{1}{3} - \left(\frac{7}{12} \times \frac{7}{12}\right) = \frac{48}{144} - \frac{49}{144} = -\frac{1}{144}

Ortak moment ile marjinal momentlerin çarpımı arasındaki fark değişkenlerin birbirlerine olan doğrusal bağımlılığını (kovaryansını) ölçer.

Key Concept

İki sürekli rastgele değişken için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan marjinal yoğunluk fonksiyonlarının türetilmesi ve temel kovaryans formülünün (

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

) uygulanması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics