Examkin

Question

Difficulty: MediumRao-Blackwell Teoremi

Bir meteoroloji istasyonunda ölçülen günlük rüzgar hızları, (0,θ)(0, \theta) aralığında bir düzgün dağılıma (Uniform dağılım) sahip rastgele değişkenler olarak modellenmektedir.

Bu istasyondan birbirinden bağımsız olarak alınan n=3n=3 günlük rüzgar hızı ölçümü X1,X2,X3X_1, X_2, X_3 olarak kaydedilmiştir. Bilinmeyen θ\theta parametresini tahmin etmek için başlangıçta yansız bir tahmin edici olan T=2X1T = 2X_1 önerilmiştir.

Ancak, Rao-Blackwell teoremi kullanılarak tam ve yeterli (complete and sufficient) istatistik olan S=max⁡(X1,X2,X3)S = \max(X_1, X_2, X_3) yardımıyla bu tahmin edicinin iyileştirilebileceği fark edilmiştir.

Buna göre, TT tahmin edicisinin SS yeterli istatistiğine göre koşullu beklenen değeri (E[T∣S]E[T|S]) alınarak elde edilen gelişmiş (Rao-Blackwell) tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2S2 S
  2. B
    34S\frac{3}{4} S
  3. 43S\frac{4}{3} SAnswer
  4. D
    23S\frac{2}{3} S
  5. E
    32S\frac{3}{2} S

Answer

43S\frac{4}{3} S
Rao-Blackwell teoremine göre, yansız bir tahmin edicinin (T=2X1T=2X_1) tam ve yeterli istatistiğe (SS) göre koşullu beklenen değeri (T∗=E[T∣S]T^* = E[T|S]), yansız ve minimum varyanslı bir tahmin edici (UMVUE) verir. Düzgün dağılımda S=max⁡(X1,X2,X3)S = \max(X_1, X_2, X_3) tam ve yeterli istatistiktir ve E[S]=34θE[S] = \frac{3}{4}\theta'dır. SS'yi yansız bir tahmin edici yapmak için 43\frac{4}{3} katsayısı ile çarpmak gerekir. Lehmann-Scheffe teoremi gereği bu tek yansız fonksiyon, aynı zamanda Rao-Blackwell tahmin edicisinin (E[T∣S]E[T|S]) kendisine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
T=2X1T = 2X_1 tahmin edicisinin yansız olup olmadığını kontrol etme
E[2X1]=2E[X1]=2(θ2)=θE[2X_1] = 2E[X_1] = 2(\frac{\theta}{2}) = \theta elde edilir. Demek ki TT tahmin edicisi yansızdır.
Rao-Blackwell teoreminin yansızlık özelliğini koruduğunu teyit etmek için.
2
Maksimum sıra istatistiğinin (SS) beklenen değerini bulma
n=3n=3 hacimli (0,θ)(0, \theta) aralığındaki düzgün dağılım için E[S]=nn+1θ=34θE[S] = \frac{n}{n+1}\theta = \frac{3}{4}\theta olarak hesaplanır.
Yeni tahmin edicinin SS'nin bir fonksiyonu olacağını ve yansız olması gerektiğini Lehmann-Scheffe teoreminden bildiğimiz için.
3
SS istatistiğini yansız bir tahmin ediciye dönüştürme
E[c⋅S]=θE[c \cdot S] = \theta denklemini çözecek cc katsayısı aranır. c⋅34θ=θ  ⟹  c=43c \cdot \frac{3}{4}\theta = \theta \implies c = \frac{4}{3} bulunur.
Tam ve yeterli bir istatistiğin yansız fonksiyonu tektir ve bu aynı zamanda Rao-Blackwell tahmin edicisinin ta kendisidir.
4
Gelişmiş Rao-Blackwell tahmin edicisini (T∗T^*) yazma
T∗=43ST^* = \frac{4}{3} S sonucuna ulaşılır.
Tüm koşullar sağlandığı için UMVUE formülü belirlenmiş olur.

Key Concept

Rao-Blackwell Teoremi ve Lehmann-Scheffe Uygulaması
Rate this question

Topics

Rao-Blackwell Teoremi

More questions from this topic