Examkin

Question

Difficulty: HardPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x;θ)=1θ,0<x<θf(x; \theta) = \frac{1}{\theta}, \quad 0 < x < \theta olan düzgün (uniform) dağılımdan çekilmiştir.

Bilinmeyen θ\theta parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemiyle %100(1−α)\%100(1-\alpha) güven düzeyinde en kısa güven aralığı oluşturulmak istenmektedir.

Buna göre, doğru eksen fonksiyonu seçimi ve bu fonksiyon kullanılarak elde edilen en kısa güven aralığı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

(Not: X(n)=max⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n) örneklem maksimumudur.)

  1. A
    Eksen Fonksiyonu: Q=X(n)−θQ = X_{(n)} - \theta ve Güven Aralığı: [X(n)−(1−α)1/n,X(n)]\left[ X_{(n)} - (1-\alpha)^{1/n}, X_{(n)} \right]
  2. B
    Eksen Fonksiyonu: Q=Xˉ−θ/2S/nQ = \frac{\bar{X} - \theta/2}{S/\sqrt{n}} ve Güven Aralığı: [2Xˉ−Zα/22Sn,2Xˉ+Zα/22Sn]\left[ 2\bar{X} - Z_{\alpha/2}\frac{2S}{\sqrt{n}}, 2\bar{X} + Z_{\alpha/2}\frac{2S}{\sqrt{n}} \right]
  3. C
    Eksen Fonksiyonu: Q=X(n)θQ = \frac{X_{(n)}}{\theta} ve Güven Aralığı: [α1/nX(n),X(n)]\left[ \alpha^{1/n} X_{(n)}, X_{(n)} \right]
  4. D
    Eksen Fonksiyonu: Q=X(n)θQ = \frac{X_{(n)}}{\theta} ve Güven Aralığı: [(1−α2)−1/nX(n),(α2)−1/nX(n)]\left[ \left(1-\frac{\alpha}{2}\right)^{-1/n} X_{(n)}, \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{-1/n} X_{(n)} \right]
  5. Eksen Fonksiyonu: Q=X(n)θQ = \frac{X_{(n)}}{\theta} ve Güven Aralığı: [X(n),α−1/nX(n)]\left[ X_{(n)}, \alpha^{-1/n} X_{(n)} \right]Answer

Answer

Doğru eksen fonksiyonu Q=X(n)θQ = \frac{X_{(n)}}{\theta} olup, elde edilen en kısa güven aralığı [X(n),α−1/nX(n)]\left[ X_{(n)}, \alpha^{-1/n} X_{(n)} \right] şeklindedir.
Doğru seçenekte Q=X(n)/θQ = X_{(n)} / \theta doğru bir pivot fonksiyonu olarak tanımlanmış, dağılımı θ\theta'dan bağımsız bulunmuştur. En kısa güven aralığı şartını sağlamak için, θ\theta'nın katsayısı olan aralık uzunluk fonksiyonu minimize edilmiş, asimetrik nqn−1nq^{n-1} yoğunluk fonksiyonunun en yüksek değer aldığı tepe noktasına (üst sınır 1'e) dayalı olarak hesaplamalar yapılıp tam optimizasyon sağlanmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Eksen (pivot) fonksiyonunun koşulunu kontrol et ve doğru fonksiyonu seç.
Q=X(n)θQ = \frac{X_{(n)}}{\theta} istatistiği seçilir. Dağılım fonksiyonu FQ(q)=P(X(n)θ≤q)=P(X(n)≤qθ)=(qθθ)n=qnF_Q(q) = P\left(\frac{X_{(n)}}{\theta} \le q\right) = P(X_{(n)} \le q\theta) = \left(\frac{q\theta}{\theta}\right)^n = q^n bulunur.
Bir istatistiğin eksen fonksiyonu olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreden (θ) tamamen bağımsız olması gerekir.
2
Güven aralığı sınırlarını veren temel olasılık eşitsizliğini kur.
P(c1≤Q≤c2)=1−α  ⟹  P(c1≤X(n)θ≤c2)=1−αP(c_1 \le Q \le c_2) = 1-\alpha \implies P\left(c_1 \le \frac{X_{(n)}}{\theta} \le c_2\right) = 1-\alpha denklemi yazılır ve buradan aralığın alt ve üst sınırları [X(n)c2,X(n)c1]\left[ \frac{X_{(n)}}{c_2}, \frac{X_{(n)}}{c_1} \right] olarak elde edilir.
θ'yı eşitsizliğin ortasında yalnız bırakarak aralık formunu elde etmek gereklidir.
3
En kısa güven aralığı için aralık uzunluğunu (L) minimize eden c1c_1 ve c2c_2 değerlerini bul.
Aralık boyu L=X(n)(1c1−1c2)L = X_{(n)}\left(\frac{1}{c_1} - \frac{1}{c_2}\right)'dir. L'yi en küçük yapmak için c2c_2'yi alabileceği en büyük değere eşitlemek gerekir. QQ'nun yoğunluk fonksiyonu (0,1)(0,1) aralığında tanımlı olduğundan c2=1c_2 = 1 alınır.
Dağılım asimetrik ve sağa doğru artan (f(q)=nqn−1f(q) = nq^{n-1}) karakterde olduğundan olasılık kütlesini sağ uca dayamak aralığı daraltır.
4
c2=1c_2 = 1 değerini olasılık denkleminde yerine koyarak c1c_1'i hesapla ve nihai aralığı yaz.
∫c11nqn−1dq=1n−c1n=1−α  ⟹  c1n=α  ⟹  c1=α1/n\int_{c_1}^{1} n q^{n-1} dq = 1^n - c_1^n = 1-\alpha \implies c_1^n = \alpha \implies c_1 = \alpha^{1/n} bulunur. Sınırlar yerine konduğunda aralık [X(n)1,X(n)α1/n]\left[ \frac{X_{(n)}}{1}, \frac{X_{(n)}}{\alpha^{1/n}} \right] olur.
Seçilen üst kritik değer kullanılarak, geriye kalan α\alpha hata payı üzerinden alt kritik değer (c1c_1) matematiksel olarak türetilmiş olur.

Key Concept

Düzgün dağılımda yeterli istatistik üzerinden eksen (pivot) fonksiyonu türetimi ve aralık uzunluğu minimizasyonu
Rate this question

Topics

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

More questions from this topic